أنواع المعادلات الجبرية Types Of Algebraic Equations
يمكن تصنيف المعادلات الجبرية إلى أنواع مختلفة بناءً على (درجة المعادلة)، والدرجة هي الأس الأعلى لمتغير في المعادلة الجبرية.
فيما يلي أكثر أنواع المعادلات الجبرية شيوعاً :-
معادلة جبرية خطية Linear Algebraic Equation
هي المعادلة التي تكون فيها درجة كثير الحدود 1 ، أي أن الأس الأعلى لمتغير المعادلة =1
سبب تسميتها بالمعادلة الخطية هو عند رسم هذه المعادلة تكون دائماً خط مستقيم ، بمعنى أن المعادلة التي تكون درجتها او (الأس الاعلى ) 1 تسمى ب المعادلة الخطية
الصيغة العامة للمعادلة الخطية هي :-
a1x1+a2x2+....+anxn=0
حيث أن a1,a2,...,an أعداد حقيقية real numbers
وأن x1,x2,...,xn متغير (variable)
أنواع المعادلة الخطية Types of Linear Equation
معادلة خطية بمتغير واحد Linear equation in one variable
هي المعادلة التي لها متغير واحد كحد أقصى من الدرجة 1 ، والصيغة العامة لمعادلة خطية بمتغير واحد هي :- ax+b=0 حيث أن a,b عدد حقيقي real numbers، وأن x متغير variable , و a≠0
مثال:- 3x = 1 ; 22x -1 = 0 ; 4x + 9= -11
معادلة خطية بمتغيرين Linear equation in two variables
هي المعادلة التي يكون فيها كل من المتغيرين من اعلى ترتيب الأس 1 ويكون لها حل واحد أو عدد لانهائي من الحلول أو لاشئ، ويمكن كتابة الحلول في أزواج مرتبة (x,y) الصيغة العامة لمعادلة خطية بمتغيرين هي:- ax+by+c=0 حيث أن a,b,c أعداد حقيقيةreal numbers ,وأن x,y متغيرات variables, وأن a≠0
مثال:- 4x+y =1 ; y =1-4x
معادلة خطية بثلاث متغيرات Linear equation in three variables
أنظمة المعادلات التي تحتوي على ثلاث متغيرات تكون أكثر تعقيداً قليلاً في حلها من تلك التي تحتوي على متغيرين، ولحل مثل هكذا نوع من المعادلات ذات الثلاث متغيرات يكون أما بالحذف أو باستخدام مصفوفات 3×3 وهما الطريقتان الأكثر وضوحاً.
الصيغة العامة لمعادلة خطية بثلاث متغيرات هي:- ax+by+cz=d حيث أن a,b,c,d أعداد حقيقية، x,y,z متغيرات و a،b,c≠0
مثال:- 4x-2y+3z=1
حل المعادلات الخطية Solving Linear Equations
حل المعادلة الخطية بمتغير واحد Solve a linear equation in one variable
ويكون ذلك بإعادة ترتيب حدود المعادلة، بوضع المتغيرات على طرف واحد من المعادلة وجميع الثوابت على الطرف الآخر،
جمع الحدود المتشابهة معاً ثم تبسيطها ، بإجراء العمليات الحسابية نفسها على الطرفين. بعد حل المعادلة (أي إيجاد قيمة المتغير) يمكن التحقق من الحل عن طريق تعويض قيمة المتغير في المعادلة مرة اخرى .
مثال:-حل المعادلة الجبرية 5x - 9 = -3x +19 [إيجاد قيمة المتغير x الذي يجعل طرفي المعادلة متساوي ]
الحل :-
في المعادلة أعلاه ننقل 3x- من الجانب الايمن الى الجانب الايسر من المساواة ، تنعكس العملية عند التحويل وتصبح كالتالي : 5x -9 +3x = 19
- نكرر نفس العملية أعلاه بتحويل 9- من الطرف الايسر الى الطرف الأيمن من المساواة وعكس العملية على المعامل 5x +3x =19+9
- جمع الحدود المتشابهة 8x =28
- التبسيط، لكلا طرفي المساواة إقسم على 8 28/8= 8x/8
x = 28/8
- التحقق من صحة الحل وذلك بتعويض قيمة x في المعادلة ، تعويض x=28/8 في المعادلة
5x-9=-3x+19 فنحصل على 9=9 وبذلك تحقق المساواة .
حل المعادلة الخطية بمتغيرين Solve a linear equation in two variables
1- طريقة التعويض Substitution method
هي طريقة بسيطة لحل نظام المعادلات الخطية في متغيرين جبرياً، وإيجاد حلول المتغيرات بإيجاد قيمة المتغير x بدلالة المتغير y من المعادلة الاولى ثم تعويض قيمة المتغير x في المعادلة الثانية لإيجاد قيمة المتغير y ، وبالتالي يمكن وضع قيمة y في أي من المعادلتين لإيجاد قيمة x .
مثال :- حل معادلتين خطيتين بمتغيرين باستخدام طريقة التعويض
x - 2y = 8 ……(1)
x + y = 5 …....(2)
من المعادلة (2)، نوجد قيمة المتغير x بدلالة المتغير y فنحصل على x = 5 - y
نعوض قيمة x في المعادلة (1)
x - 2y = 8 ….. (1)
(5-y) - 2y = 8
5 - 3y = 8
-3y = 8 - 5
-3y = 3
y = -1
نعوض قيمة y في المعادلة (2) x = 5 - y
x = 5 +1
x= 6
x= 6 , y= -1
2- طريقة الحذف Elimination method
لأنها تجعل العمليات الحسابية أسهل من خلال حذف متغير، وبمجرد حذف المتغير يصبح من الأسهل
تحديد قيمة متغير آخر ثم إستخدام هذه القيمة للعثور على قيمة المتغير المستبعد.
خطوات الحل بطريقة الحذف
الخطوة الأولى:- رتب المعادلات بالصيغة القياسية ax+by+c=0 أو ax+by=c .
الخطوة الثانية :- تحقق مما إذا كانت اضافة المعادلات أو طرحها سيؤدي إلى إلغاء متغير.
الخطوة الثالثة :- إذا لم يكن الأمر كذلك ، فاضرب احدى المعادلتين او كليهما إما بمعامل x أو y
بحيث يؤدي الجمع او الطرح إلى إلغاء أي من المتغيرات .
الخطوة الرابعة :- حل المعادلة المتغّيرة المفردة الناتجة .
الخطوة الخامسة :- عوّض بها في أي من المعادلات للحصول على قيمة متغير آخر.
فيما يلي مثال لتوضيح طريقة الحذف لحل معادلات خطية بمتغيرين
x - 2y = 8 .….. (1)
2x + y = 5 …… (2) ضرب إحدى المعادلتين بعدد مناسب
في هذا المثال سيتم إختيار المعادلة (2) حيث أننا سنقوم بضرب كل حد من حدود المعادلة(2) بالعدد
2 لتتساوى في النهاية معاملات أحد المتغيرات في قيمتها على أن تختلف في اشارتها بين المعادلتين
[ 2x + y = 5 ] ×2 …… (2)
4x + 2y = 10 …... (2) لتصبح
2) جمع المعادلتين معاً ، لكي يلغي أحد متغيرات المعادلة الأولى المتغير المشابه له في
المعادلة الثانية والمساوي له في القيمة والمختلفة معه في الإشارة [وهنا المتغير هو y ]
x - 2y = 8 ….. (1)
4x + 2y = 10 ….. (2)
5 x = 18
x تبسيط النتيجة للحصول على إجابة نهائية للمتغير المتبقي وهنا هو المتغير
x = 18/5
4) نعوض قيمة المتغير x في المعادلة (2) لإيجاد قيمة المتغير y
y = 5 - 2x
y = 5 -2 (18/5)
y = 5 - 36/5
y = - 11/ 5
الحل هو x = 18/5 , y = -11/5
3- طريقة الرسم البياني Graphing method
تصنيف أنظمة المعادلات الخطية بعدد الحلول
عندما نحل نظاماً من معادلتين خطيتين ممثلتين برسم بياني لخطين في نفس المستوى فهناك ثلاث
حالات محتملة وهي :-
الخطوط متقاطعة :- تشترك الخطوط المتقاطعة في نقطة واحدة، يعني أن هناك حل واحد لهذا النظام ويسمى بنظام معادلات متسق Consistent ويعتبر نظاماً مستقلاً Independent.
الخطوط متوازية :- هو النظام الذي تمثل فيه المعادلات خطين متوازيين ، أي لا توجد نقاط مشتركة لكلا الخطين، لذلك لا يوجد حل للنظام ويسمى نظام غير متسق Inconsistent.
الخطوط متطابقة :- بحيث تمثل المعادلات نفس الخط ،وكل نقطة على الخط تمثل زوج احداثيات تحقق النظام وبالتالي هناك عدد لانهائي من الحلول وبذلك النظام يكون متسق consistent وتابعاً Dependent.
خطوات حل المعادلات الخطية في متغيرين بيانياً
الخطوة الأولى :- لحل نظام من معادلتين بيانياً، نقوم برسم كلا المعادلتين على محاور الإحداثيات.
الخطوة الثانية :- لرسم المعادلة يدوياً، قم اولاً بتحويلها الى الصيغة y = mx +b عن طريق حل
معادلة y ، أو x = my +b عن طريق حل معادلة x .
الخطوة الثالثة :- ابدأ بوضع قيم x مثل (0،1،2،...) وهكذا وابحث عن القيم المقابلة لy أو بالعكس
للحصول على قيم مختلفة لx ضع قيم لy مثل 0،1،2،… .
الخطوة الرابعة :- ارسم نقاط المعادلة المختلفة على الرسم البياني .
الخطوة الخامسة :- حدد النقطة التي يتقاطع فيها كلا الخطين.
الخطوة السادسة :- نقطة التقاطع هي الحل للنظام المعطى.
فيما يلي مثال لتوضيح حل نظام المعادلات بمتغيرين بيانياً :-
-x + 2y -3 = 0
3x + 4y -11 = 0
الحل :- نرسم كلا المعادلتين ونرى ما اذا كانت تتقاطع في نقطة ما
نرى أن كلا الخطين يلتقيان عند النقطة (1،2)، لذا فان حل نظام المعادلات الخطية المعطى هو
x=1 و y=2
حل المعادلة الخطية بثلاث متغيرات Solve a linear equation in three variables
يتم حل المعادلات الخطية بثلاثة متغيرات بطرق رئيسية [ الحل بالحذف، الحل باستخدام مصفوفات 3×3 ] ، في هذه الحالة يتوجب وجود ثلاث معادلات لحل وإيجاد ناتج قيم المتغيرات التي تحقق المعادلات الثلاث وذلك باستخدام طريقة الجمع والطرح.
حل مثل هذا النظام الخطي هو الثلاثي المرتب (x,y,z) ، وللتحقق من أن العدد الثلاثي المرتب هو الحل، إستبدل قيم x,y,z المقابلة ثم تبسيطها لمعرفة ما اذا كنت تحصل على بيان صحيح من جميع المعادلات الثلاث.
فيما يلي مثال (1) للتوضيح :-
حدد ما اذا كان الثلاثي المرتب (3 ،1 ، 2-) هو الحل للنظام الخطي التالي
x + 10y - 2z = 2 ..…(1)
3x + 2y - z = -7 ..…(2)
6x - y + 3z = -4 ..….(3)
Equation (1) Equation (2) Equation (3)
x + 10y - 2z = 2 3x + 2y - z = -7 6x - y + 3z = -4
(-2) +10(1) -2(3)=2 3(-2) +2(1) - (3) = -7 6(-2) - (1) + 3(3) =-4
-2+10-6=2 -6 + 2 - 3 = -7 -12 -1 + 9 = -4
2=2 -7=-7 -4 = -4
نظراً لان الثلاثي المرتب (3 ،1 ، 2-) تحقق جميع المعادلات الثلاث، فإننا نستنتج أنها حل للنظام الخطي .
مثال (2) حدد ما اذا كان (4/3 ، 4 ، 1) هو حل للنظام الخطي التالي أم لا :-
9x + y - 6z = 5 …..(1)
-6x - 3y + 3z = -14 …..(2)
3x + 2y - 7z = 15 ..…(3)
Equation (1) Equation (2) Equation (3)
9x + y - 6z = 5 -6x - 3y + 3z = -14 3x + 2y - 7z = 15
9(1)+4- 6(4/3)=5 -6(1)-3(4)+3(4/3)=-14 3(1)+2(4)-7(4/3)=15
9+4-8=5 -6-12+4=-14 3+8-28/3=15
13-8=5 -18+4=-14
5=5 -14=-14 5/3≠ 15
النقطة لاتفي بكل المعادلات وبالتالي فهي ليست حلاً .
1- طريقة الحذف لحل نظام من ثلاث معادلات ذات ثلاثة متغيرات
- اكتب كل المعادلات بالصيغة القياسية ، خالية من الكسور العشرية او الكسور.
- إختر متغيراً للتخلص منه، ثم إختر أي معادلتين من المعادلات الثلاث، ثم إستبعد المتغير المختار.
- حدد مجموعة مختلفة من معادلتين وقم بإزالة نفس المتغير كما في الخطوة (2).
- حل المعادلتين من الخطوتين (2) و (3) للمتغيرين اللذين تحتويهما.
- إستبدل الاجابات من الخطوة (4) في أي معادلة تتضمن المتغير المتبقي.
- إفحص الحل باستخدام المعادلات الثلاث الاصلية.
4x - 2y + 3z = 1 ….(1)
x + 3y - 4z = -7 ….(2)
3x + y + 2z = 5 ….(3)
خطوة (1) : بما أن المعادلات الثلاثة خالية من الكسور العشرية والكسور، إذن جميع المعادلات موجودة بالشكل المطلوب.
خطوة (2) : اختيار متغيراً لحذفه، وليكن المتغير x ، الان نقوم بتحديد معادلتين من المعادلات الثلاثة لحذف المتغير x ، وليكن المعادلتين (1) و (2) .
4x - 2y + 3z = 1 ….(1)
x + 3y - 4z = -7 …. (2) ------> -4 نضرب
4x -2y + 3z = 1 …..(1)
-4x -12y + 16z = 28 ….(2)
-14y + 19z = 29 …..(4)
x + 3y - 4z = -7 ….(2) -----> -3 ضرب
3x + y + 2z = 5 …..(3)
-3x - 9y + 12z = 21 ….(2)
3x + y + 2z = 5 …..(3)
-8 y + 14z = 26 ….(5)
-14y + 19z = 29 …..(4) ------> -8 نضرب
-8y +14z = 26 …..(5) ------> 14 نضرب
112y - 152z = -232
-112y + 196z = 364
44z = 132
z = 3
-8y + 14 (3) = 26
-8y + 42 = 26
-8y = -16
y = 2
x + 3(2) - 4(3) = -7
x + 6 - 12 = -7
x - 6 = -7
x = -1
الحل هو x = -1 , y = 2 , z =3
الثلاثي المرتب ( 3 , 2 , 1 - )
تعليقات
إرسال تعليق