المعادلة التربيعية Quadratic Equation
BY FADIA M. SALMAN
2- المعادلة التربيعية
هي معادلة متعددة الحدود في متغير واحد حيث يكون أعلى أُس للمتغير هو 2، كلمة Quadratic مشتقة من كلمة Quad التي تعني مربع، كذلك تسمى بمعادلة الدرجة الثانية. الصيغة القياسية للمعادلة التربيعية هي ax²+bx+c=0 ، حيث أن a ≠ 0 ،وأن a,b,c أعداداً حقيقية real numbers .
للمعادلة التربيعية إجابتان (حلان) كحد أقصى ل x ، تسمى أيضاً بجذور المعادلة التربيعية. جذور المعادلة التربيعية هي قيمتا x والتي يتم الحصول عليها من خلال حل المعادلة التربيعية.
توجد طرق مختلفة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية
- تحليل المعادلة التربيعية Factoring
- الصيغة التربيعية The Quadratic Formula
- اكمال المربع Completing the Square
سنتناول شرح كل طريقة بالتفصيل مع أمثلة توضيحية لكل طريقة
1- التحليل إلى عوامل
هي أبسط طريقة لحل المعادلات التربيعية، إلا أنه لايمكن إستخدام هذه الطريقة دائماً لأنه ليست كل كثيرات الحدود قابلة للتحويل الى عوامل ، ولكن يتم إستخدامها كلما كان التحليل إلى عوامل ممكناً.
خطوات الحل بالتحليل إلى عوامل
1- ضع كل الحدود على أحد جانبي علامة التساوي للمعادلة ، والجانب الأخر يكون صفراً.
2- حلل إلى عوامل .
3- ضع كل عامل مساوياً للصفر .
4- حل كل من هذه المعادلات .
5- التحقق من الإجابة بالتعويض في المعادلة الاصلية.
مثال 1 :- أوجد حل المعادلة التربيعية التالية x² - 6x =16
بأتباع الخطوات أعلاه ،توضع كل الحدود على أحد جانبي علامة التساوي فتصبح المعادلة
x² - 6x - 16 = 0
- نحلل المعادلة التربيعية إلى عوامل
(x + 2) (x - 8) = 0
- الأن نضع كل عامل مساوياً للصفر
(x + 2) = 0 أو (x - 8) = 0
x = -2 أو x = 8
الخطوة الأخيرة هي التحقق من الحل وذلك بتعويض جذور المعادلة (قيم x) في المعادلة الاصلية
x² - 6x =16 x² - 6x =16
16 = (2-) 6 - ²(2-) 16 = (8) 6 - ²(8)
16 = 12 + 4 16 = 48 - 64
16 = 16 16 = 16
إذن كلا القيمتين 8 و 2- هما حلان للمعادلة اتربيعية x² - 6x =16 مثال 2 :- أوجد حل المعادلة التربيعية التالية z² = -6z - 5
- نضع كل الحدود على أحد جانبي علامة التساوي والجانب الاخر صفراً، فتصبح المعادلة
z² + 6z +5 = 0
- نحلل المعادلة إلى عوامل 0 = (y + 1) (z + 5)
- نضع كل عامل مساوياً للصفر z + 1 = 0 أو z + 5 = 0
- حل المعادلتين نحصل على z = -1 أو z = -5
ملاحظة :- المعادلة التربيعية التي يكون فيها أحد حدودها مفقود ( عدا حد x² غير مفقود) تسمى بالمعادلة التربيعية غير مكتملة . مثال : x² - 16 = 0 ، x² + 6x = 0
2- الصيغة التربيعية Quadratic Formula
هي أبسط طريقة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية، هناك معادلات تربيعية معينة لايمكن تحليلها إلى عوامل بسهولة ، وهنا يمكننا إستخدام الصيغة التربيعية بسهولة للعثور على الجذور بأسرع طريقة ممكنة. تساعد جذور المعادلة التربيعية في إيجاد مجموع الجذور وحاصل ضرب جذور المعادلة التربيعية .
يتم تقديم الجذور في الصيغة التربيعية كتعبير واحد. يمكن إستخدام الاشارة الموجبة والسالبة بدلاً من ذلك للحصول على جذرين متميزين للمعادلة.
x= [-b 土√ (b² - 4ac)]/ 2a
مثال :- أوجد جذور المعادلة التربيعية التالية x² - 3x - 4 = 0 بأستخدام الصيغة التربيعية :
a = 1 , b = - 3 , c = - 4
x=[-b 土√ (b² - 4ac)]/ 2a
= [ -(-3)± √ ((-3)² -4(1)(-4))]/2(1)]
= [ 3 ±√25] / 2
= [3 ± 5] / 2
= (3+5)/ 2 or (3-5)/ 2
= 8/2 or -2/2
= 4 or -1 جذور المعادلة التربيعية
عند إستخدام الصيغة التربيعية ، يجب أن تكون على دراية بثلاث إحتمالات ، تتميز هذه الاحتمالات الثلاثة بجزء من الصيغة يسمى المميز The Discriminant ، المميز هو القيمة تحت علامة الجذر التربيعي b² - 4ac ، يمكن أن تحتوي المعادلة التربيعية ذات الأعداد الحقيقية على مايلي :-
1. إذا كان المميز b² - 4ac عدد موجب، فأنه يوجد جذران حقيقيان مختلفان.
2. إذا كان المميز b² - 4ac صفراً ، فأنه يوجد جذر حقيقي واحد .
3. إذا كان المميز b² - 4ac عدد سالب ، فأنه لايوجد جذر حقيقي .
مثال : x² - 5 x = -6
طبيعة جذور المعادلة التربيعية
عادةً ما يتم تمثيل المعادلة التربيعية بالرموز (α,β) ، هنا سنوضح كيفية إيجاد طبيعة جذور المعادلة التربيعية دون إيجاد جذور المعادلة فعلياً ، وكذلك التحقق من الصيغ لإيجاد مجموع وحاصل جذر المعادلة.
ويكون هذا عن طريق أخذ القيمة المميزة ، والتي هي جزء من الصيغة لحل المعادلة التربيعية.
تسمى القيمة b² - 4ac مميز المعادلة التربيعية Discriminant of a Quadratic Equation ويرمز لها بالحرف D .
وبناءً على القيمة المميزة يمكن التنبؤ بطبيعة جذور المعادلة التربيعية كما يلي :
D = b² - 4ac
- D ＞ 0 , الجذور حقيقية و مختلفة
- D = 0 , الجذور حقيقية ومتساوية
- D く0 , الجذور الحقيقية غير موجودة أو الجذور خيالية
مجموع و حاصل ضرب جذور المعادلة التربيعية
يُفيد كلاً من معامل x² و x والحد الثابت للمعادلة التربيعية 0 = ax² + bx + c في تحديد مجموع وحاصل ضرب جذور المعادلة التربيعية .
يمكن حساب مجموع وحاصل ضرب جذور المعادلة التربيعية مباشرةً من المعادلة دون إيجاد جذور المعادلة التربيعية في الواقع.
- مجموع جذور المعادلة التربيعية يساوي ( سالب معامل x مقسوماً على معامل x²) .
- حاصل ضرب جذر المعادلة يساوي ( الحد الثابت مقسموماً على معامل x²).
- Sum of the root α+β = -b/a = - coefficient of x / coefficient of x².
- Product of the root αβ = c/a = constant / coefficient of x².
3- إكمال المربع Completing the Square
الطريقة الثالثة لحل المعادلات التربيعية التي تعمل مع الجذور الحقيقية والخيالية تسمى ب إكمال المربع
خطوات الحل بطريقة إكمال المربع
1- ضع المعادلة بالصيغة ax² + bx = -c .
2- تأكد أن a =1 [ في حالة ان a ≠ 1 ، أضرب المعادلة ب a/1 ]، أي أن إذا كان معامل x² ليس 1 ، قم بقسمة كل حدود المعادلة على هذا المعامل .
3- إستخدم القيمة b من المعادلة الجديدة ، ثم أضف ²( b/2 ) الى كلا طرفي المعادلة لتكوين مربع كامل في الطرف الايسر من المعادلة . بمعنى أخر أوجد مربع نصف معامل الحد x ، ثم أضف هذه الكمية إلى طرفي المعادلة.
4- أوجد الجذر التربيعي لكل من طرفي المعادلة .
5- حل المعادلة الناتجة من إجل إيجاد قيمة x.
ملاحظة :- إذا لم تكن الخطوة 4 ممكنه فلن يكون للمعادلة حل حقيقي.
مثال :- حل المعادلة التربيعية x² - 6x + 5 = 0
- نرتب المعادلة بالصيغة ax² + bx = -c لتصبح x² - 6x = -5
- لأن معامل x² مساوياً 1 ، أي أن (a = 1) ،
نُضيف ²(2/ -6) إلى كلا طرفي المعادلة لإكمال المربع
9= ²(2/ -6)
9 + x² - 6x + 9 = -5
x² - 6x + 9 = 4
4 = ²(x - 3)
- أوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين
x - 3 = ±2
x - 3 = -2 أو x - 3 = 2
x = 1 أو x = 5
تعليقات
إرسال تعليق