النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل

 

حساب التفاضل والتكامل هو الدراسة الرياضية للتغير المستمر. وله فرعين رئيسيين - حساب التفاضل (يهتم بدراسة معدلات التغير ومنحدرات المنحنيات) ويتضمن مفهوم المشتقات. وحساب التكامل (يهتم بدراسة تراكم الكميات والمساحات تحت المنحنيات وفيما بينها) ويتضمن مفهوم التكاملات. تربط النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل هذين الفرعين.

إن النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل هي نظرية قوية للغاية تحدد العلاقة بين التفاضل والتكامل، وتمنحنا طريقة لتقييم التكاملات المحددة دون إستخدام مجاميع ريمان أو حساب المساحات. هناك سبب يُطلق عليها النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل. فهو لا يُوطِد علاقة بين التكامل والتفاضل فحسب، بل يضمن أيضًا أن أي دالة قابلة للتكامل لها مشتق عكسي.  على وجه التحديد، فهو يضمن أن أي دالة مستمرة لها مشتق عكسي.

تنص النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل، التي تربط بين فرعي حساب التفاضل والتكامل، على أن عملية التفاضل والتكامل هي عمليات عكسية. وتتكون النظرية من جزأين، الجزء الأول من النظرية يحدد العلاقة بين التفاضل والتكامل. وتنص على أن التكامل المحدد يمكن عكسه بالتفاضل.

الجزء الثاني من النظرية لهُ أهمية كبيرة عملياً لأنه يسهل حساب التكاملات المحددة بشكل كبير. فهو يُمَكِننا من حساب تكامل محدد لدالة بإستخدام أحد إشتقاقاتها العكسية غير المحدودة.

في هذه المقالة، سنلقي نظرة على النظريتين الأساسيتين في حساب التفاضل والتكامل ونفهمهما بمساعدة بعض الأمثلة.

النظرية الأساسية الجزء الأول

يطلق على الجزء الأول من نظرية التفاضل والتكامل أحيانًا اسم النظرية الأساسية الأولى في التفاضل والتكامل، وتنص النظرية على أن التكامل المحدد يمكن عكسه بالتفاضل.

لتكن f دالة حقيقية مستمرة معرفة على الفترة المغلقة [a, b]. إذا كانت F دالة معّرفة للمتغير x ضمن الفترة [a, b] فإن: 

${\displaystyle �(�)={\int }_{�}^{�}�(�)��}$

عندئذ :

${\displaystyle {�}^{\prime }(�)=�(�)}$

 لكل x في (a,b).

مثال 1 : بإستخدم النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل، الجزء الأول جد مشتقةالدالة التالية 

f(x) = ₁ഽˣ [1/ (t³+1)] dx

الحل :- 

f'(x) = [1/ x³+1]

مثال 2 : بإستخدم النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل، الجزء الأول، أوجد مشتقةالدالة التالية 

f(s) = ₀∫ˢ √(x² + 4) dx

الحل :- 

f'(s) = √ s² + 4

النظرية الأساسية الجزء الثاني

لتكن f دالة حقيقية معرفة على الفترة المغلقة [a, b]. إذا كانت F دالة معرفة بحيث تحقق أيا كانت قيمة x ضمن الفترة (a, b) عندئذ :

${\displaystyle {\int }_{�}^{�}�(�)��=�(�)-�(�)}$

مثال 1: بإستخدم النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل، الجزء الثاني، أوجد مايلي : 

₋₂∫² (x² - 4) dx

الحل :- 

₋₂∫² (x² - 4) dx = ( x³/3 - 4x ) |₋₂²

                             = [(2)³/3 - 4(2)] - [(-2)³/3 - 4(-2)]

                             = [8/3 - 8] - [-8/3 + 8]

                             = 8/3 - 8 + 8/3 - 8

                             = 16/3 - 16

                             = - 32/3

مثال 2: بإستخدم النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل، الجزء الثاني، أوجد مايلي : 

∫₋₁¹ (x + 1) dx

الحل :- 

لنجد اولاً التكامل غير المحدد 

∫ (x + 1) dx = (x²/2) + x = F(x)

ومن ثم بإستخدم النظرية الأساسية الثانية في التفاضل والتكامل، نحصل على

F(1) - F(-1)  = [(1/2) + 1] - [(-1/2) + (-1)]

                      = 1/2 + 1 - 1/2 + 1 

                      = 2

∴ ∫₋₁¹ (x + 1) dx = 2