التكامل بالكسور الجزئية هو أسلوب تكامل يَستخدم تحليل الكسور الجزئية لتبسيط التكامل. فتتم كتابة التكامل على هيئة كسور جزئية ثم يتم حسابه بإستخدام الطرق القياسية. بمعنى آخر في هذه الطريقة تقوم بتحليل الدوال النسبية المعقدة التي يصعب تكاملها إلى دوال نسبية بسيطة سهلة التكامل .
إن الفكرة الأساسية هي تحليل المقام للعامل المعقد ثم تقسيمه إلى كسور مختلفة بمقامات تلك العوامل. عادةً ما ينتهي بالتكامل اللوغاريتمي أو تكامل دالة المثلثات العكسية.
سنتناول في هذه المقالة العديد من الأمثلة التي سنعالجها بطريقة التكامل بالكسور الجزئية.
قبل البدء بالأمثلة سنذكر اولاً القواعد الأساسية لتحليل الكسور الجزئية .
القواعد الأساسية لتحليل الكسور الجزئية
فيما يلي قواعد الكسور الجزئية الأساسية عند تحليل الكسور، دون حل المتغيرات . لاحظ كيف يمكن إستخدام مجموعات من القواعد، إعتمادًا على أنواع المقامات. وهي تنطبق فقط على الكسور التي يكون مقامها بدرجة أكبر من درجة البسط .
حدود الكسور الجزئية صيغة عامل المقام
ax +b A / (ax+c)
(ax+b)ⁿ A / (ax+b) + B / (ax+b)² + ......+ Z / (ax+b)ⁿ
ax²+bx+c Ax+B / ax²+bx+c
(ax²+bx+c)ⁿ Ax+B / (ax²+bx+c) + Cx+D / (ax²+bx+c)² + ....+
Yx+Z/ (ax²+bx+c)ⁿ
جد التكامل
Ex1: ∫ (2x+1) / (12x²+x -1) dx
الحل :-
أولاً نقوم بتحليل المقام لكي نستطيع تقسيمه إلى كسرين منفصلين
∫ (2x+1)/(12x²+x-1) dx = ∫ (2x+1) / (3x+1) (4x-1) dx
= ∫ [A / (3x+1) + B / (4x-1)] dx
الأن نحاول إيجاد قيم A و B
⇒ (2x+1)/(3x+1) (4x-1) = A / (3x+1) + B / (4x-1)
لإيجاد قيم A و B نضرب الطرفين بالقاسم المشترك وهو (4x-1)(3x+1)
(3x+1) (4x-1) . (2x+1)/(3x+1) (4x-1) = A /(3x+1) . (3x+1) (4x-1) + B/ (4x-1)
. (3x+1) (4x-1)
2x + 1 = A (4x-1) + B (3x+1)
⏝ ⏝
2x + 1 = 4x A - A + 3x B + B
2x = 4xA + 3xB , B - A = 1 ⇒ B = 1+A
2x = 4xA + 3x (1+A)
2x = 4xA + 3x + 3xA
2x - 3x = 7x A
- x = 5xA ⇒ A = - 1/7, ⇒ B = 1+A ⇒ B = 1 - 1/7
= 6/7
نعوض قيم A و B في دالة التكامل
∫ (2x+1)/(12x²+x-1) dx = ∫ [-1/7 / (3x+1) + 6/7 / (4x-1)] dx
= ∫ [- 1 /7 (3x+1) + 6 / 7(4x-1)] dx
= -1/7 ∫ dx / (3x+1) + 6/7 ∫ (4x-1) dx
= -1/21 ln |3x+1| + 6/28 ln |4x-1| + C
= -1/21 ln |3x+1| + 3/14 ln |4x-1| + C
Ex2: ∫ (x²+2x+2) / (x³-3x²+2x) dx
الحل :-
أولاً نقوم بتحليل المقام
∫ (x²+2x+2) / (x³-3x²+2x) dx = ∫ (x²+2x+2) / x (x-2) (x-1) dx
= ∫ [A/x + B/(x-2) + C/(x-1)] dx
الأن نحاول إيجاد قيم A و B
⇒ (x²+2x+2) / x (x-2) (x-1) = A/x + B/(x-2) + C/(x-1)
لإيجاد قيم A و B نضرب الطرفين بالقاسم المشترك وهو (x-1) (x-2) x
(x-1)(x-2) x . (x²+2x+2) / x (x-2) (x-1) = A/x . (x-1) (x-2) x + B/(x-2).(x-1) (x-2)x
+ C/(x-1) . (x-1) (x-2) x
(x²+2x+2) = A . (x-1) (x-2) + B . (x-1) x + C . (x-2) x
(x²+2x+2) = A (x-1)(x-2) + Bx (x-1) + Cx (x-2)
نفرض قيم ل x بحيث تجعل الحدود أعلاه 0
x = 2 : ➡ (x²+2x+2) = A (x-1)(x-2) + Bx (x-1) + Cx (x-2)
(2² + 2(2) +2) = A (2-1)(2-2) + B(2) (2-1) + C (2)(2-2)
(4 + 4 + 2) = A (1)(0) + B (2)(1) + C (2)(0)
10 = 2 B ⇒ B = 5
x = 0 : ➡ (x²+2x+2) = A (x-1)(x-2) + Bx (x-1) + Cx (x-2)
(0² + 2(0) +2) = A (0-1 )(0-2) + B(0) (0-1) + C(0) (0-2)
(0 + 0 +2) = 2A + 0 + 0
2 = 2A ⇒ A = 1
x = 1 : ➡ (x²+2x+2) = A (x-1)(x-2) + Bx (x-1) + Cx (x-2)
(1²+2(1)+2) = A (1-1)(1-2) + B(1)(1-1) + C(1)(1-2)
(1 + 2 + 2) = A (0)(-1) + B (0) + C (-1)
5 = - C ⇒ C = -5
نعوض بقيم A و B و C ثم نجد التكامل
∫ (x²+2x+2) / (x³-3x²+2x) dx = ∫ [A/x + B/(x-2) + C/(x-1)] dx
= ∫ 1/x dx + ∫ 5/ (x-2) dx + ∫- 5 /(x-1) dx
= ln|x| + 5 ln|x-2| - 5 ln|x-1| + C
Ex3 : ∫ (x³+2x²+3x+7) /(x²-x-6) dx
الحل :-
بما أن درجة البسط (3) أكبر من درجة المقام (2)
لذا سنقوم بإجراء القسمة المطولة لكثيرات الحدود للحصول على دوال متعددة الحدود و كسرية.
x +3 + [12x+25/x²-x-6]
x² - x - 6 ⟌ x³+2x²+3x+7
- + +
+ x³ - x² - 6x
3x² + 9x +7
3x² - 3x - 18
12x +25
∫ (x+3+(12x+25/x²-x-6)) dx = ∫ x dx + ∫ 3dx + ∫ (12x+25/x²-x-6) dx
بالنسبة للحد الأخير نقوم بتحليل الكسور الجزئية
12x+25/x²-x-6 = 12x + 25 / (x-3)(x+2)
= A / (x-3) + B / (x+2)
لإيجاد قيم A و B نضرب الطرفين بالقاسم المشترك وهو (x-3)(x+2)
(x-3)(x+2) . 12x + 25 / (x-3)(x+2) = A/(x-3) . (x-3)(x+2) + B/(x+2).(x-3)(x+2)
12x + 25 = A(x+2) + B(x-3)
نفرض قيم ل x بحيث تجعل الحدود أعلاه 0
x = -2 : ➡ 12x + 25 = A(x+2) + B(x-3)
12(-2) + 25 = A((-2)+2) + B((-2)-3)
-24+25 = A(0) + B(-5)
1 = -5 B ⇒ B = -1/5
x = 3 : ➡ 12x + 25 = A(x+2) + B(x-3)
12(3) + 25 = A((3)+2) + B((3)-3)
36 + 25 = A (5) + B (0)
61 = 5 A ⇒ A = 61/5
∫ (x³+2x²+3x+7) /(x²-x-6) dx = ∫ (x+3+(12x+25/x²-x-6)) dx
= ∫ [x+3+ 12x+25 / (x-3)(x+2)] dx
= ∫ (x + 3 + A/(x-3) + B/(x+2)) dx
= ∫ (x + 3 + 61/5 /(x-3) + -1/5 /(x+2)) dx
= ∫ x dx + ∫ 3 dx + 61/5 ∫ dx/(x-3) - 1/5∫ dx /(x+2)
= x²/2 +3x + 61/5 ln|x-3| - 1/5 ln|x+2| + C
Ex4 : ∫ (x-1) /(x+1)(x-2) dx
(x-1)/(x+1)(x-2) = A/(x+1) + B/(x-2)
نضرب الطرفين بالقاسم المشترك (x-2)(x+1) نحصل على
(x-1) = A(x-2) + B(x+1)
x = -1 : ➡ (-1 - 1) = A(-1 - 2) + B(-1 + 1)
-2 = -3A + 0
A = 2/3
x = 2 : ➡ (2 - 1) = A(2 - 2) + B(2 + 1)
1 = 0 + 3 B
B = 1/3
(x-1)/(x+1)(x-2) = 2/3/(x+1) + 1/3/(x-2)
∫ (x-1)/(x+1)(x-2) dx = 2/3 ∫ 1/(x+1) dx + 1/3 ∫ 1/(x-2) dx
= 2/3 ln|x+1| + 1/3 ln|x-2|+ C
Ex5 : ∫ 6 /(x²-1) dx
الحل :-
∫ 6 / (x²-1) dx = ∫ 6 / (x-1)(x+1) dx
= ∫ [A / (x-1) + B / (x+1)] dx
علينا إيجاد قيم A و B بضرب الطرفين بالقاسم المشترك (x-1)(x+1)
(x-1)(x+1) . 6/(x-1)(x+1) = A /(x-1) . (x-1)(x+1) + B/(x+1) .(x-1)(x+1)
6 = A (x+1) + B (x-1)
x = -1 : ➡ 6 = A (-1 + 1) + B (-1 - 1)
6 = A(0) + B(-2)
6 = -2B ⇒ B = -3
x = 1 : ➡ 6 = A (1 + 1) + B (1 - 1)
6 = A (2) + B (0)
6 = 2A ⇒ A = 3
∫ 6 / (x²-1) dx = ∫ [3 /(x-1) - 3 /(x+1)] dx
= ∫ 3/(x-1) dx - ∫ 3/(x+1) dx
= 3 ∫ 1/(x-1) dx - 3 ∫ 1/(x+1) dx
= 3 ln|x-1| - 3 ln|x+1| + C
تعليقات
إرسال تعليق