مفهوم النهايات أو (الغايات) في الرياضيات/ صيغها وخصائصها

 

النهاية (الغاية) والإستمرارية هي المفاهيم الأساسية في حساب التفاضل والتكامل. فهي تساعدنا على فهم كيفية تصرف الدوال عندما تقترب قيمها المُدخلة (مُتغيرها المستقل) من قيمة محددة أو نقطة معينة ( limit point). كما تتيح لنا تقديم بيانات دقيقة حول سلوك الدوال في نقاط معينة. فالغايات أداة أساسية لحل المشكلات في مختلف مجالات الرياضيات والهندسة والعلوم. من ناحية أخرى، تركز الإستمرارية على سلاسة الدالة وترابطها.

تتناول هذه المقالة موضوعًا مهمًا في حساب التفاضل والتكامل وهو الغايات (النهايات)، وحساب التفاضل والتكامل هو جزء من الرياضيات الذي يتعامل بشكل أساسي مع دراسة التغير في قيمة الدالة للتغيرات في نقاط المجال.

تتناول المقالة أيضاً تعريف الغايات، أنواعها، صيغها، وخصائصها. سنناقش أيضاً كيفية إيجاد غاية الدالة عند نقطة معينة. علماً أن ليست كل الدوال لها غايات في جميع النقاط، سنتعرف ما يعنيه ذلك أيضاً وكيف يمكننا معرفة ما إذا كانت الدالة لها غاية أو نهاية عند قيمة معينة أم لا. 

تعريف الغاية(النهاية)  

الغاية هي أحد المفاهيم الأساسية في الرياضيات وبشكل خاص في التفاضل والتكامل، غاية الدالة f(x) هو التعبير عن سلوك الدالة f عندما يقترب متغير الدالة x من قيمة معينة ولتكن a 

يُعبر عن الغاية رياضياً كالتالي

limₓ⟶ₐ f(x) = K

K : عدد حقيقي يُمثل غاية الدالة وتُقرأ : غاية الدالة f(x) هو K عندما x تقترب إلى a

 

إذا كانت الغاية من اليمين، يُعبر عنها رياضياً كالتالي : 

limₓ⟶ₐ⁺ f(x) = K₁

إذا كانت الغاية من اليسار، يُعبر عنها رياضياً كالتالي : 

limₓ⟶ₐ⁻ f(x) = K₂

غاية الدالة f(x) تكون موجوده إذا كان K₁= K₂ ، وتكون غاية الدالة f(x) غير موجودة إذا كان K₁≠ K₂

أنواع الغايات

هناك ثلاثة أنواع من الغايات أو النهايات:

• النهايات المنتهية Finite Limits
• النهايات اللانهائية. Infinite Limits
• النهايات في اللانهاية .Limits at Infinity 

النهايات المنتهية Finite Limits

هي الغاية أو النهاية التي تقترب فيه الدالة من قيمة محدودة عندما تقترب قيمة الإدخال من قيمة معينة. بمعنى آخر الغاية موجودة وهي عدد حقيقي. 

النهايات اللانهائية. Infinite Limits

هي الغاية أو النهاية التي تقترب فيه الدالة من اللانهاية الموجبة +∞ أو السالبة -∞ عندما تقترب قيمة الإدخال من قيمة معينة. بمعنى آخر،  الغاية غير موجودة، وتصبح قيمة الدالة كبيرة أو صغيرة بشكل لا نهائي مع إقتراب قيمة الإدخال أكثر فأكثر من قيمة معينة.

النهايات عند المالانهاية .Limits at Infinity 

هي الغاية التي تقترب فيه القيمة المُدخلة من اللانهاية أو اللانهاية السالبة، وتقترب الدالة من القيمة المحدودة أو اللانهاية. بمعنى أخر، تقترب قيمة الدالة أكثر فأكثر من قيمة معينة أو مالانهاية عندما تصبح قيمة الإدخال كبيرة أو صغيرة بشكل لانهائي.

خصائص الغايات (النهايات) Properties of Limits 

تسمح لنا خصائص و قوانين الغايات(النهايات) بحساب الغايات عن طريق تبسيط التعبيرات المعقدة إلى أجزاء بسيطة، ثم حساب الغاية (النهاية) قطعة واحدة في كل مرة. هذه القوانين هي في الواقع نظريات تم إثباتها بناءً على التعريف الفني للغاية.

فيما يلي بعض خصائص غايات الدالة، فلو كان limₓ→ₐ f(x) و limₓ→ₐ g(x) موجودة، وأن c عدد ثابت فإن : 

• قانون الجمع law of addition

الغاية تتوزع على عملية الجمع للدوال

- limₓ→ₐ [f(x) + g(x)] = limₓ→ₐ f(x) + limₓ→ₐ g(x)

• قانون الطرح law of Subtraction 

الغاية تتوزع على عملية الطرح للدوال

- limₓ→ₐ [f(x) - g(x)] = limₓ→ₐ f(x) - limₓ→ₐ g(x)

• قانون الضرب law of Multiplication 

الغاية تتوزع على عملية الضرب لدالتين

- limₓ→ₐ [f(x) . g(x)] = limₓ→ₐ f(x) . limₓ→ₐ g(x)

• قانون القسمة law of division 

الغاية تتوزع على حاصل قسمة دالتين

- limₓ→ₐ [f(x) / g(x)] = limₓ→ₐ f(x) / limₓ→ₐ g(x)

حيث  limₓ→ₐ g(x) ≠ 0

• الغاية لثابت مضروب في دالة يساوي الثابت في غاية الدالة

- limₓ→ₐ c . f(x) = c limₓ→ₐ f(x)

• الغاية لدالة مرفوعة للأس

-  limₓ→ₐ [ f(x)ⁿ] = [ limₓ→ₐ f(x) ]ⁿ

• غاية الدالة الثابتة تساوي الثابت نفسه

- limₓ→ₐ C = C

يوجد بعض القواعد الخاصة 

▪ limₓ→₀ eˣ = 1

▪ limₓ→₀ (eˣ - 1)/x = 1

▪  limₓ→₀ (aˣ - 1)/x = logₑ a

▪  limₓ→₀ log (1+x)/x = 1

▪  limₓ→₀ (1+x)¹/ˣ = e

▪  limₓ→∞ (1 + 1/x)ˣ = e

▪ limₓ→∞ (1 + a/x)ˣ = eᵃ

أمثلة منوعة :-

مثال1 : أوجد الغاية للدالة كثيرة الحدود التالية 

 limₓ→₀ (3x³ + 4x + 5)

الحل :-

حسب قانون الجمع للغاية: يتم توزيع الغاية على كل حد من حدود الدالة

=  limₓ→₀ 3x²  +  limₓ→₀ 4x +  limₓ→₀ 5

يتم تعويض القيمة (0) التي يقترب إليها المتغير x في الدالة 

= 3(0)³ + 4(0) + 5

= 5

ஃ  limₓ→₀ (3x³ + 4x + 5) = 5

غاية الدالة موجودة، هذا يعني أن الغاية من جهة اليمين تساوي الغاية من جهة اليسار. 

مثال2 : أوجد الغاية للدالة كثيرة الحدود التالية 

 limₓ→₋₁ (4x³ - 2x² - x )

الحل :- 

حسب قانون الطرح للغاية: يتم توزيع الغاية على كل حد من حدود الدالة

=  limₓ→₋₁ 4x³ -  limₓ→₋₁ 2x² -  limₓ→₋₁ x

يتم تعويض القيمة (1-) التي يقترب إليها المتغير x في الدالة 

= 4(-1)³ - 2(-1)² - (-1)

= -4 - 2 + 1 

= - 5

ஃ limₓ→₋₁ (4x³ - 2x² - x ) = - 5

غاية الدالة موجودة، هذا يعني أن الغاية من جهة اليمين تساوي الغاية من جهة اليسار. 

مثال3 : أوجد الغاية للدالة التالية 

 limₓ→₂(x+1)(x²-1)

حسب قانون الضرب للغاية: يتم توزيع الغاية على الدالتين

=  limₓ→₂ (x+1) .  limₓ→₂(x²-1)

يتم تعويض القيمة (2) التي يقترب إليها المتغير x في الدالة 

= (2+1) . (2²-1)

= 3 . 3 = 9

 ஃ limₓ→₂(x+1)(x²-1) = 9

مثال4 : أوجد الغاية للدالة التالية 

limₓ→₂ 2(x² - x)

الحل :- 

حسب الخاصية الغاية لثابت مضروب في دالة يساوي الثابت في غاية الدالة 

= 2 limₓ→₂(x² - x)

يتم تعويض القيمة (2) التي يقترب إليها المتغير x في الدالة

= 2 (2² - 2)

= 2(4 - 2) = 4

ஃ limₓ→₂ 2(x² - x)

مثال5 : أوجد الغاية للدالة التالية 

limₓ→₅ (x+1)/(x-3)

حسب خاصية توزيع الغاية على دالة البسط  و دالة المقام 

=limₓ→₅ (x+1) / limₓ→₅ (x-3)

التعويض بالقيمة (5) التي يقترب إليها المتغير x في الدالة

= 5+1 / 5-3 = 6/2 = 3

ஃ limₓ→₅ (x+1)/(x-3) = 3

مثال6 : أوجد الغاية للدالة التالية 

limₓ→₃(x² - x + 2)²/³

الحل :- 

توزيع الغاية على الدالة داخل القوس المرفوع للأس

= (limₓ→₃(x² - x + 2))²/³

= ( limₓ→₃ x² - limₓ→₃ x + limₓ→₃ 2 )²/³

= (3² - 3 + 2)²/³

= (9 - 3 + 2)²/³

= (8)²/³

ஃ limₓ→₃(x² - x + 2)²/³ = (8)²/³

كيفية حساب الغايات  How to Evaluate Limits

تتضمن طريقة الجبر تبسيط الدالة جبريًا قبل محاولة حساب غايتها. في كثير من الأحيان، هذا التبسيط يعني فقط التحليل والقسمة، ولكن في بعض الأحيان تكون هناك حاجة إلى خطوات جبرية أو حتى مثلثية أكثر تعقيدًا.

هناك طرق مختلفة لحساب النهايات، بما في ذلك التعويض المباشر، والتحليل، والمرافق، وقاعدة لابيتال.

 الإستبدال أو التعويض المباشر  Direct Substitution

الإستبدال أو التعويض المباشر هو الطريقة الأولى التي تستخدم لحساب الغايات (النهايات) جبرياً (وهو تعويض العدد الذي تقترب منه x في الدالة) عن طريق إستبدال نقطة النهاية limit point في الدالة وتبسيط التعبير. تعمل هذه الطريقة عندما تكون الدالة مستمرة عند نقطة النهاية. في حالة أن يكون الناتج قيمة غير محددة (0 في المقام)، فيجب عليك الإنتقال إلى أسلوب أو طريقة آخرى. لكن إذا كانت الدالة متصلة عند قيمة x تلك، فستحصل على قيمة، وبذلك تكون قد وجدت الغاية أو النهاية الخاص بك!

مثال:- أوجد الغاية للدالة التالية

limₓ→₅ (x² - 6x + 8) / (x - 4)

 = (5² - 6(5) + 8) / (5 - 4)

= (25 - 30 + 8) / 1 

= 3 

ஃ limₓ→₅ (x² - 6x + 8) / (x - 4) = 3

مثال :- جد غاية الدالة التالية f(x) = x²-4 / x-2 ، عندما تقترب x من 2

بإستخدام طريقة التعويض المباشر عن طريق استبدال 2 في الدالة وتبسيط التعبير

limₓ→₂ (x²-4) / (x-2) = (2²-4) / (2-2) = 0/0

نتيجة هذا التعبير 0/0 غير معّرفة، مما يعني أننا لا نستطيع إيجاد قيمة نهاية الدالة بإستخدام التعويض المباشر. لذا نحتاج إلى أن نتبع طريقة أخرى لإيجاد الغاية. هذه الحالة تظهر في الدوال الكسرية التي يكون فيها كل من البسط والمقام عبارة عن دوال متعددة الحدود عادة. ولغرض إيجاد حل لهذه الحالة نطبق الطريقة التالية

التحليل Factoring

التحليل هو طريقة تستخدم لحساب النهايات عن طريق تحليل بسط ومقام الدالة وتبسيط التعبير. تعمل هذه الطريقة عندما تكون الدالة غير محددة عند نقطة الحد (limit point) بسبب إنقطاع قابل للإزالة.

التحليل هو الطريقة التي يجب إتباعها بعد فشل عملية الإستبدال أو التعويض، خاصةً عندما يكون أي جزء من الدالة المعطاة تعبيرًا متعدد الحدود.

مثال :- limₓ→₄ (x² - 6x + 8) / (x - 4)

نحاول أولاً التعويض بالرقم 4 في الدالة، فنحصل على 0 في البسط والمقام، 

limₓ→₄ (x² - 6x + 8) / (x - 4) = (4² - 6(4)+8)/(4-4) = 0/0

وهذا يجعلنا نلجأ إلى تقنية أو طريقة أخرى لإيجاد الغاية(النهاية) وهي طريقة التحليل.

التعبير التربيعي الموجود في البسط يحثنا على محاولة تحليله.

limₓ→₄ (x² - 6x + 8) / (x - 4) = limₓ→₄ (x-4)(x-2) / (x-4) = limₓ→₄ (x-2) = 4-2 =2

نحذف العوامل المشتركة (x-4) في البسط والمقام .

المرافق Conjugate 

الأسلوب الثالث الذي تحتاج إلى معرفته لإيجاد النهايات جبريًا عن طريق ضرب بسط الدالة ومقامها بالمرافق لإزالة الجذور أو الأعداد المركبة من مقام الكسر. الدوال التي تتطلب هذه الطريقة لها جذر تربيعي في البسط وتعبير متعدد الحدود في المقام. 

خطوات الحل هي (1) ضرب البسط والمقام في مرافق البسط (2) حساب الغاية(النهاية) عن طريق التعويض المباشر.

مثال:- أوجد الغاية للدالة التالية

limₓ→₄ (2 - √x) / (4 - x)

الحل :- 

في حالة التعويض المباشر بالقيمة 4 ستكون الإجابة 0/0

لذا سنتبع طريقة أخرى وهي ضرب البسط والمقام بمرافق البسط 

= (2 - √x) / (4 - x) × (2 + √x) / (2 + √x)

= 2² -  (√x)² / (4 - x) (2 + √x)

= (4 - x) / (4 - x) (2 + √x)

حذف العوامل المشتركة في البسط والمقام 

= 1 / 2 + √x

ஃ limₓ→₄ (2 - √x) / (4 - x) = limₓ→₄ 1 / (2 + √x) = 1/4

مثال:- أوجد الغاية للدالة التالية

limₓ→₀ (√x²+1 - 1) / (√x²+16 - 4)

الحل :- 

في حالة التعويض المباشر بالقيمة 0 ستكون الإجابة 0/0

لذا سنتبع طريقة أخرى وهي ضرب البسط والمقام بمرافق البسط والمقام معاً كالتالي 

limₓ→₀(√x²+1 - 1)/(√x²+16 - 4)×(√x²+1 + 1)/(√x²+1 + 1) × (√x²+16 + 4)/(√x²+16+ 4)

= limₓ→₀ x²/x² × (√x²+16 + 4)/1

= 8/2

= 4

قاعدة لوبيتال أو قاعدة بيرنولي

لنفرض أن لدينا إحدى الحالات التالية 

limₓ⟶ₐ f(x)/g(x) = 0/0    OR   limₓ⟶ₐ f(x)/g(x) = ∞/∞

حيث a يمكن أن يكون أي عدد حقيقي ، مالانهاية ∞ ، أو مالانهاية سالبة ∞- في هذه الحالات لدينا 

limₓ⟶ₐ f'(x)/g'(x)

تستخدم هذه القاعدة لحساب الغايات ذات صيغة غير محددة 0/0 أو ∞/∞ كل ماعلينا فعله هو إشتقاق البسط و إشتقاق المقام ثم حساب الغاية(النهاية). 

مثال:- أوجد الغاية للدالة التالية

limₓ→₂ (x²+x-6) / (x²-4)

الحل :-

عن التعويض المباشر ب 2 نحصل على 

= (2²+2-6) / (2²-4) = 0/0

هذا يعني أن غاية الدالة غير محددة، لذا نطبق قاعدة لوبيتال

بإشتقاق البسط وإشتقاق المقام أولاً

limₓ→₂ (x²+x-6) / (x²-4) = limₓ→₂ (2x+1-0) / (2x-0)

                                             = limₓ→₂ (2x+1) / (2x)

نعوض ب 2 

                                             = 2(2) +1 / 2(2) = 5/4

ஃ limₓ→₂ (x²+x-6) / (x²-4) = 5/4

- أود الإشارة إلى أنه ستكون هناك حالات يجب فيها تطبيق قاعدة L’Hopital أكثر من مرة لحساب القيمة الحدية بنجاح وهي عندما تكون نتيجة الغاية (النهاية) لا يزال يؤدي إلى غير محدد في هذه الحالة، يمكننا تطبيق نفس القاعدة مرارًا وتكرارًا حسب الحاجة .

مثال:- أوجد الغاية للدالة التالية

limₓ→∞  eˣ / x²

الحل :- 

 limₓ→∞ eˣ / x² = ∞/∞       

هذا يعني أن غاية الدالة غير محددة، لذا نطبق قاعدة لوبيتال

 limₓ→∞ eˣ / x² = limₓ→∞ eˣ / 2x

لا تزال النتيجة غير محددة لذا نكرر تطبيق قاعدة لوبيتال مرة أخرى

limₓ→∞ eˣ / 2x = limₓ→∞ eˣ / 2

                             = ∞/ 2 

                             = ∞

مثال:- أوجد الغاية للدالة التالية

limₓ→∞  (2x² - 5x + 1) / (3+x+6x²)

الحل :-

نعوض بالقيمة ∞ ،لحساب الغاية إن أمكن

limₓ→∞ (2(∞)² - 5(∞) + 1) / (3 + (∞) + 6(∞)²) = (-2+2) / ((-2)² = ∞/∞

القيمة غير محددة، نطبق قاعدة لوبيتال  

limₓ→∞  (2x² - 5x + 1) / (3+x+6x²) = limₓ→∞ (4x-5)/(1+12x)

limₓ→∞ (4x-5)/(1+12x) = 4(∞)-5/1+12(∞) 

                                            = ∞/∞

لاتزال القيمة غير محددة، لذا سنعيد تطبيق قاعدة لوبيتال مرة اخرى

limₓ→∞ (4x-5)/(1+12x) = limₓ→∞  4/12 

                                            = 1/3

ஃ limₓ→∞  (2x² - 5x + 1) / (3+x+6x²) = 1/3

لاحظ أنه كان علينا تطبيق قاعدة لوبيتال مرتين لإيجاد القيمة النهائية

مثال:- أوجد الغاية للدالة التالية

limₓ→₋₂  (x+2)/(x²+3x+2)

الحل :- 

نعوض بالقيمة 2- ،لحساب الغاية إن أمكن

limₓ→₋₂  (x+2)/(x²+3x+2) = (-2+2)/((-2)²+3(-2)+2) = 0/0

القيمة غير محددة، نطبق قاعدة لوبيتال  

limₓ→₋₂  (x+2)/(x²+3x+2)  = limₓ→₋₂ 1/ (2x+3)

                                                 = 1 / 2(-2)+3

                                                 = 1/-1 = -1