التكامل بالتعويض (الإستبدال) هو أسلوب تكامل يتضمن إجراء تعويض لتبسيط التكامل. ويُشار إلى هذه الطريقة أحياناً بإسم (إستبدال-u) u-substitution أو قاعدة السلسة العكسيةThe Reverse Chain Rule ، الحرف u يُشير عادةً للدلالة على القيمة البديلة. و يعتمد الإستبدال على شكل التكامل المُعطى، حيث إن بعض الإستبدالات أكثر ملائمة لوسائل معينة من غيرها.
في عملية التكامل بالإستبدال يتم إستبدال المتغير المستقل بمتغيرات أخرى، بالتالي تسمح لنا هذه التقنية بإعادة كتابة التكامل بطريقة أكثر قابلية للإدارة والحل.
يتم إستخدام التكامل بالتعويض (الإستبدال) عندما لا يمكن الحصول على تكامل الدالة المعطاة مباشرةً ، لأن الدالة الجبرية المعطاة ليست في الصورة القياسية . علاوةً على ذلك ، يمكن إختزال الدالة المعطاة إلى الشكل القياسي عن طريق التعويض أو الإستبدال المناسب.
في هذه المقالة سنتاول العديد من الأمثلة التي سنعالجها بطريقة التكامل بالتعويض.
Ex1 : ∫ sin (2x) dx
الحل :- نفرض أن
u = 2x ⇒ du = 2 dx
dx = 1/2 du
بالتعويض عن كل x بالمتغير الجديد u
∫ sin (2x) dx = ∫ 1/2 sin (u) du
= - 1/2 cos (u) + C
نستبدل u بالمتغير x
= - 1/2 cos (2x) + C
Ex2 : ∫ 1 / (3x +2) dx
الحل :- نفرض أن
u = 3x+2 ⇒ du = 3 dx
dx = 1/3 du
بالتعويض عن كل x بالمتغير الجديد u
∫ 1/ (3x+2) dx = ∫ 1/u .du/3
= 1/3 ln |u| + C
نستبدال u بالمتغير x
= 1/3 ln |3x+2| + C
Ex3 : ∫ tan x dx
الحل :- نفرض أن
u = cosx ⇒ du = - sinx dx
∫ tan x dx = ∫ [sinx / cosx] dx
بالتعويض عن كل x بالمتغير الجديد u
= ∫ - du / u
= - ln |u| + C
نستبدال u بالمتغير x
= - ln |cosx| + C
= ln 1/|cosx| + C
Ex4: ∫ [x / √2x-1] dx
الحل :- نفرض أن
u = 2x-1 ⇒ du = 2 dx
dx = du / 2
بالتعويض عن كل x بالمتغير الجديد u
∫ ((u+1) / 2√u) . du/2 = 1/4 ∫ ((u+1) / √u) du
= 1/4 ∫ (√u + 1/√u) du
= 1/4 ∫ (u¹/² + u⁻¹/² ) du
= 1/4 [ u³/²/ 3/2 + u¹/² / 1/2 ] + C
نستبدل u بالمتغير x
= 1/4 [2/3 (2x-1)³/² + 2 (2x-1)¹/²] + C
= 1/6 (2x-1)³/² + 1/4 (2x-1)¹/² + C
Ex5 : ∫ sin (x³).3x dx
الحل :- نفرض أن
u = x³ ⇒ du = 3x² dx
بالتعويض عن كل x بالمتغير الجديد u
∫ sin (x³) . 3x² dx = ∫ sin(u) du
= - cos(u) + C
نستبدل u بالمتغير x
= - cos (x³) + C
Ex6 : ∫ 2x cos (x² - 5) dx
الحل :- نفرض أن
u = x² - 5 ⇒ du = 2x dx
بالتعويض عن كل x بالمتغير الجديد u
= ∫ cos(u) du
= sin(u) + C
نستبدل u بالمتغير x
= sin (x² - 5) + C
Ex7 : ∫ (2x +3)(x²+ 3x)² dx
الحل :- نفرض أن
u = x² + 3x ⇒ du = (2x + 3) dx
بالتعويض عن كل x بالمتغير الجديد u
= ∫ u² du = u³ / 3 + C
نستبدل u بالمتغير x
= (x²+3x)³ / 3 + C
Ex8 : ∫ x / (x² +1) dx
الحل :- نفرض أن
u = x²+1 ⇒ du = 2x dx
x dx = du /2
بالتعويض عن كل x بالمتغير الجديد u
∫ 1/u. du /2 = 1/2 ∫ 1/ u du
= 1/2 ln |u|
نستبدل u بالمتغير x
= 1/2 ln |x²+1| + C
Ex9 : ∫ 2x / ∛(x² - 6) dx
الحل :- نفرض أن
u = x² - 6 ⇒ du = 2x dx
بالتعويض عن كل x بالمتغير الجديد u
∫ [2x / ∛ x²-6 ] dx = ∫ du / u¹/³ = u²/³ / 2/3 + C
= 3/2 u²/³ + C
نستبدل u بالمتغير x
= 3/2 (x²-6)²/³ + C
Ex10 : ∫ (cos √x / √x) dx
الحل :- نفرض أن
u = x¹/² ⇒ du = 1/2 x⁻¹/² dx
2 du = 1/√ x dx
بالتعويض عن كل x بالمتغير الجديد u
∫ cos (√ x) /√ x dx = 2 ∫ cos(u) du
= 2 sin(u) + C
نستبدل u بالمتغير x
= 2 sin(√ x) + C
 هو أسلوب تكامل يتضمن إجراء تعويض لتبسيط التكامل. ويُشار إلى هذه الطريقة أحياناً بإسم (إستبدال-u) u-substitut…){kind=link}
تعليقات
إرسال تعليق