إنٌ إحدى طرق حل التكامل هي صيغة التكامل بالتجزئة، ونستخدم هذه الصيغة عندما تكون الدالة المراد تكاملها هي حاصل ضرب دالتين.
والتكامل بالتجزئة يشمل صيغتين رياضيين هما :-
∫ u dv = uv - ∫ v du
(أو)
∫u v dx = u ∫ vdx - ∫ u' ( ∫vdx ) dx
حيث u تمثل دالة u(x)
v تمثل دالة v(x)
'u مشتقة دالة u(x)
du مشتقة دالة u(x)
Ex 1 :- ∫ x⁴ ln(x) dx
الحل :-
نفرض أن
u = ln (x) & dv = x⁴ dx
du = 1/x dx , v = x⁵/5
بتطبيق صيغة التكامل بالتجزئة
∫ u dv = uv - ∫ v du
∫ x⁴ ln(x) dx = x⁵/5 lnx - ∫ 1/5 x⁵.1/x dx
= x⁵/5 lnx - 1/5 ∫ x⁴ dx
= 1/5 x⁵ lnx - 1/5 [x⁵/5] + C
= 1/5 x⁵ lnx - 1/25 x⁵ + C
Ex 2 :- ∫ x eˣ dx
الحل :- نفرض أن
u = x & dv = eˣ dx
du = dx , v = eˣ
بتطبيق صيغة التكامل بالتجزئة
∫ u dv = uv - ∫ v du
= x eˣ - ∫ eˣ dx
= x eˣ - eˣ + C
= eˣ (x - 1) + C
Ex 3 :- ∫ (x sin(2x)) dx
الحل :- نفرض أن
u = x & dv = sin(2x) dx
du = dx , v = -1/2 cos (2x)
∫ sin (kx) dx = -1/k cos (kx) +C
∫ x sin (2x) dx = -1/2 x cos (2x) - ∫ (-1/2 cos (2x)) dx
= -1/2 x cos (2x) + 1/2 ∫ cos (2x) dx
= -1/2 x cos (2x) + 1/2 [sin(2x) / 2] + C
= -1/2 x cos (2x) + 1/4 sin (2x) + C
Ex 4 :- ∫ x sec²x dx
الحل :- نفرض أن
u = x & dv = sec²x dx
du = dx , v = tanx ⇾ راجع صيغ تكامل الدوال المثلثية
الآن بتطبيق صيغة التكامل بالتجزئة
∫ u dv = uv - ∫ v du
∫ x sec²x dx = x tanx - ∫ tanx dx
= x tanx - (- ln |cos x|) + C
= x tanx + ln |cos x| + C
Ex 5 :- ∫ x cos(x) dx
في هذا المثال سوف نستخدم الصيغة الثانية للتكامل بالتجزئة وهي :-
∫ u v dx = u ∫ v dx - ∫ u' (∫ v dx) dx
الحل :- نفرض أن
u = x & v = cos x
u' = 1 , ∫ v dx = ∫ cos x dx = sin x
∴ ∫ x cos x dx = x sin(x) - ∫ 1 . sin(x) dx
= x sin(x) - (- cos (x))
= x sin(x) + cos(x) + C
Ex 6 :- ∫ eˣ sin(x) dx
الحل :-نفرض أن
u = sin(x) , v = eˣ
u' = cos(x) , ∫ v dx = eˣ
بتطبيق صيغة التكامل بالتجزئة
∫ u v dx = u ∫ v dx - ∫ u' (∫ v dx) dx
⇒ ∫ eˣ sin(x) dx = sin x eˣ - ∫ cos(x) eˣ dx ........(1)
نستطيع إستخدام التكامل بالتجزئة مرة اخرى
نفرض أن
u = cos x , v = eˣ
u' = - sin x , ∫ eˣdx = eˣ
نعوضها في صيغة التكامل بالتجزئة
∫ u v dx = u ∫ v dx - ∫ u' (∫ v dx) dx
∫ cos(x) eˣ dx = cos x eˣ - ∫ ( - sin(x) eˣ) dx
= cos x eˣ + ∫ sin(x) eˣ dx
نعوضها في (1) نحصل على
⇒ ∫ eˣ sin(x) dx = sin x eˣ - [ cos x eˣ + ∫ sin(x) eˣ dx ]
= sin x eˣ - cos x eˣ - ∫ sin(x) eˣ dx
⇒ 2 ∫ eˣ sin(x) dx = sin x eˣ - cos x eˣ + C
تبسيط ÷2
∫ eˣ sin(x) dx = 1/2 (sin x eˣ - cos x eˣ + C)
Ex 7 :- ∫ ln(x) / x² dx
الحل :- نفرض أن
u = ln(x) & dv = 1/x² dx
du = 1/x dx. , v = - 1/x
∫ u dv = uv - ∫ v du
∫ ln(x) / x² dx = - ln(x) / x - ∫ ( -1/x . 1/x ) dx
= - ln(x) / x + ∫ 1 / x² dx
= - ln(x) / x - 1 / x + C
Ex 8 :- ∫ x² e³ˣ dx
الحل :- نفرض أن
u = x² & dv = e³ˣ dx
du = 2x dx , v = 1/3 e³ˣ
∫ u dv = uv - ∫ v du
∫ x² e³ˣ dx = x² .(1/3 e³ˣ ) - ∫ 2x . (1/3 e³ˣ) dx
= 1/3 x² e³ˣ - 2/3 ∫ x e³ˣ dx .....(1)
نستطيع إستخدام التكامل بالتجزئة مرة اخرى
u = x & dv = e³ˣ dx
du = dx , v = 1/3 e³ˣ dx
∫ x e³ˣ dx = 1/3 x e³ˣ - ∫ 1/3 e³ˣ dx
= 1/3 x e³ˣ - 1/3 [1/3 e³ˣ] + C
= 1/3 x e³ˣ - 1/9 e³ˣ + C نعوضها في (1) نحصل على
⇒∫ x² e³ˣ dx = 1/3 x² e³ˣ - 2/3 [ 1/3 x e³ˣ - 1/9 e³ˣ ] + C
= 1/3 x² e³ˣ - 2/9 x e³ˣ + 2/27 e³ˣ + C
Ex 9 :- ∫ x √ x + 1 dx
الحل :- نفرض أن
u = x & dv = √ x+1 dx
du = dx , v = 2/3 (x+1)³/²
∫ u dv = uv - ∫ v du
∫ x √ x+1 dx = x . 2/3 (x+1)³/² - ∫ 2/3 (x+1)³/² dx
= 2/3 x (x+1)³/² - 2/3 ∫ (x+1)³/² dx
= 2/3 x (x+1)³/² - 2/3 [(x+1)⁵/² / 5/2 ] + C
= 2/3 x (x+1)³/² - 4/15 (x+1)⁵/² + C
Ex 10 :- ∫ x² e⁻ˣ dx
الحل :- نفرض أن
u = x² & dv = e⁻ˣ dx
du = 2x dx , v = - e⁻ˣ
∫ u dv = uv - ∫ v du
∫ x² e⁻ˣ dx = - x² e⁻ˣ - ∫ (- e⁻ˣ (2x)) dx
= - x² e⁻ˣ + 2 ∫ x e⁻ˣ dx ...... (1)
نستطيع إستخدام التكامل بالتجزئة مرة اخرى
u = x , dv = e⁻ˣ dx
du = dx , v = - e⁻ˣ
∫ x e⁻ˣ dx = - x e⁻ˣ - ∫ ( - e⁻ˣ) dx
= - x e⁻ˣ + ∫ e⁻ˣ dx
= - x e⁻ˣ - e⁻ˣ + C
نعوضها في (1) نحصل على
⇒∫ x² e⁻ˣ dx = - x² e⁻ˣ + 2 [ - x e⁻ˣ - e⁻ˣ] + C
= - x² e⁻ˣ - 2 x e⁻ˣ - 2 e⁻ˣ + C
= - e⁻ˣ ( x² + 2x + 2 ) + C
تعليقات
إرسال تعليق