تم تقديم صيغ التكامل على نطاق واسع كمجموعات الصيغ التالية. هذه الصيغ تتضمن، صيغ التكامل الأساسية، وتكامل النسب المثلثية، والدوال المثلثية العكسية، وحاصل ضرب الدوال. في هذه المقالة سنناقش صيغ التكامل بالتفصيل مع الأمثلة.
في الأساس، التكامل هو وسيلة لتوحيد الجزء لإيجاد الكل. إنها العملية العكسية للإشتقاق.
صيغ التكامل الأساسية Basic Integration Formulas
بإستخدام النظريات الأساسية للتكاملات يتم الحصول على نتائج مُعَممة يتم تذكرها كصيغ تكامل في التكامل غير المحدد.
نوع الدالة
- الثابتة Constant
∫ a dx = ax + C
ex : ∫ 2 dx = 2x + C
- دالة المتغير Variable
∫ xⁿ = [ xⁿ⁺¹/ n+1 ] + C
ex 1: ∫ x² dx = [x³/ 3] + C
ex 2: ∫ √ x dx = ∫ (x¹/²/ 1/2) dx = (x⁽¹/² ⁺¹⁾/ 1/2+1 ) + C
= (x⁽³/²⁾/ 3/2) + C
= 2/3 ( x⁽³/²⁾ + C)
- الأسية Exponential
∫ eⱽˣ dx = 1/v ( eⱽˣ + C )
ex1 : ∫ eˣ dx = eˣ + C
ex2 : ∫e²ˣ dx = 1/2 (e²ˣ + C )
∫ aˣ dx = aˣ/ ln (a) + C
ex: ∫ 3ˣ dx = 3ˣ/ ln(3) + C
- اللوغاريتمية Log
∫ 1/x dx = ln |x| + C
|| تمثل القيمة المطلقة للمتغير x ، لأننا لا نريد إعطاء قيم سالبة لدالة اللوغاريتم الطبيعي ln
ex: ∫ 1/|x+4|dx = ln |x+4| + C
صيغ التكامل للدوال المثلثية Integration Formulas of Trigonometric Functions
فيما يلي بعض صيغ التكامل المهمة التي يجب تذكرها لإجراء العمليات الحسابية المتعلقة بالدوال
المثلثية، فإننا نبسطها ونعيد كتابتها في صورة دوال قابلة للتكامل. فيما يلي قائمة بالدوال المثلثية
Trigonometric Functions والدوال المثلثية العكسية Inverse Trigonometric
Functions .
- الدوال المثلثية Trigonometric Functions
• ∫ sin x dx = - cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ sec²x dx = tan x + C
• ∫ sec x tan x dx = sec x + C
• ∫ csc²x dx = - cot x + C
• ∫ csc x cot x dx = - csc x + C
• ∫ tan x dx = - ln |cos x| + C = ln |sec x| +C
• ∫ cot x dx = ln |sin x| + C = - ln |csc x| + C
• ∫ sec x dx = ln |sec x + tan x| + C
• ∫ csc x dx = - ln |csc x + cot x| + C
مثال 1 : جد تكامل الدالة التالية
∫sin x dx
الحل :-
∫ sin x dx = - cos x + C
مثال 2 : جد تكامل الدالة التالية
∫cos x dx
الحل :-
∫cos x dx = sin x + C
مثال 3 : جد تكامل الدالة التالية
∫ (2 sin x - 2 cos x) dx
الحل :-
∫ (2 sin x - 2 cos x) dx = 2 ∫ sin x dx - 2 ∫ cox x dx = - 2 cos x - 2 sin x + C
مثال 4 : جد تكامل الدالة التالية
∫ 3 sec x tan x dx
الحل :-
∫ 3 sec x tan x dx = 3 sec x + C
مثال 5 : جد تكامل الدالة التالية
∫ (sec²x - csc²x) dx
الحل :-
∫ (sec²x - csc²x) dx = ∫ sec²x dx - ∫ csc²x dx
= tan x - [-cot x] + C
= tan x + cot x + C
مثال 6 : جد تكامل الدالة التالية
∫ - 2 sin x dx
الحل :-
∫ - 2 sin x dx = -2 ∫ sin x dx
= -2 (- cos x) + C
= 2 cos x + C
مثال 7 : جد تكامل الدالة التالية
∫ - 3 csc x cot x dx
الحل :-
∫ - 3 csc x cot x dx = -3 ∫ csc x cot x dx
= -3 ( - csc x + C )
= 3 csc x + C
مثال 8 : جد تكامل الدالة التالية
∫ tan x dx
الحل :-
∫ tan x dx = ∫ (sin x / cos x) dx
لنفرض أن
u = cos x , du = - sin x dx
= ∫ - 1/u du
= - ∫ 1/u du
= - [ln |u|] + C
= - ln |cos x| + C
مثال 9 : بَسّط ثم جد قيمة تكامل الدالة التالية
∫ csc x (csc x - cot x) dx
الحل :-
∫ csc x (csc x - cot x) dx = ∫ (csc² x - csc x cot x ) dx
= ∫ (csc² x) dx - ∫ (csc x cot x) dx
بإستخدام صيغ التكامل المثلثية الأساسية
= - cot x - (- csc x) + C
= - cot x + csc x + C
∴ ∫ csc x (csc x - cot x) dx = csc x - cot x + C
مثال 10 : جد تكامل الدالة التالية
∫ ( 2+ tan x )² dx
الحل :-
∫ ( 2 + tan x )2 dx = ∫ (4 + 4 tan x + tan² x) dx
= ∫ 4 dx + ∫ 4 tan x dx + ∫ tan² x dx
= 4 ∫ dx + 4 ∫ tan x dx + ∫ tan² x dx
= 4 ∫ dx + 4 ∫ tan x dx + ∫ (sec² x - 1) dx
= 4 ∫ dx + 4 ∫ tan x dx + [ ∫ sec² x dx - ∫1 dx ]
= 4 x + 4 ln |sec x | + tan x - x + C
= 3 x + 4 ln |sec x | + tan x + C
مثال 11 :- جد تكامل الدالة التالية
∫ sec⁶ x dx
الحل :-
∫ sec⁶ x dx = ∫ ( sec⁴ x . sec² x ) dx
= ∫ (( sec² x)² . sec² x ) dx
= ∫ (( tan² x + 1 )² . sec² x ) dx
= ∫ (( tan⁴ x + 2 tan² x + 1 ) . sec² x ) dx
⏝
= ∫ tan⁴ x . sec² x dx + ∫ 2 tan² x . sec² x dx + ∫ sec²x dx
= 1/5 tan⁵ x + 2/3 tan³ x + tan x + C
مثال 12 :- جد تكامل الدالة التالية
∫ cos³ x . sin⁴ x dx
الحل :-
∫ cos³ x . sin⁴ x dx = ∫ cos² x . sin⁴ x . cos x dx
⬇
= ∫ (1 - sin² x) . sin⁴ x . cos x dx
⏝
= ∫ (sin⁴ x - sin⁶ x) . cos x dx
⏝
= ∫ (sin⁴ x .cos x dx - ∫ sin⁶ x .cos x dx
= 1/5 sin⁵ x - 1/7 sin⁷x + C
- الدوال المثلثية العكسية Inverse Trigonometric Functions
• ∫ 1 / (√1 - x²) dx = sin⁻¹ x + C
• ∫ - 1 / (√1 - x²) dx = cos⁻¹x + C
• ∫ 1 / (1 + x²) dx = tan⁻¹x + C
• ∫ -1 / (1 + x²) dx = cot⁻¹x + C
• ∫ 1 / x (√x² - 1 ) dx = sec⁻¹x + C
• ∫ - 1 / x (√x² - 1 ) dx = csc⁻¹x + C
بعض صيغ التكامل المتقدمة الأخرى التي لها أهمية كبيرة في حل التكاملات نناقشها أدناه،
• ∫ 1 / (√a² - x²) dx = sin⁻¹ (x/a) + C
• ∫ 1 / (a² + x² ) dx = 1/a tan⁻¹ (x/a) + C
• ∫ 1 / x ( √x² - a² ) dx = 1/a sec⁻¹ (x/a) + C
مثال 1 :-احسب تكامل الدالة التالية :
∫ 1 / √ ( 9 - 4 x² ) dx
الحل : أولاً سنعيد كتابة التكاملات للتأكيد على المربعات الكاملة
∫ 1 / √ ( 9 - 4 x² ) dx = ∫ 1 / √ ( 3² - 2² x²) dx = ∫ 1 / √ ( 3² - (2 x)²) dx
ثانياً نحدد أجزاء التكامل ومطابقتها مع الصيغة
∫ 1 / √ ( 3² - (2 x)²) dx = 1/2 sin ⁻¹ (2x/3) + C
مثال 2 :-احسب تكامل الدالة التالية :
∫ 1 / x √ ( 4 x² - 9 ) dx
الحل :- أولاً سنعيد كتابة التكاملات للتأكيد على المربعات الكاملة
∫ 1 / x √ ( 4 x² - 9 ) dx = ∫ 1 / x √ ( 2² x² - 3² ) dx = ∫ 1 / x √ ( (2x)² - 3² ) dx
ثانياً نحدد أجزاء التكامل ومطابقتها مع الصيغة، هذه الصيغة تشبه صيغة القاطع العكسي(صيغة sec⁻¹)
∫ 1 / x √ ( (a x)² - b² ) dx = 1/b sec⁻¹ (|ax|/b) + C
∫ 1 / x √ ( (2x)² - 3² ) dx = 1/3 sec⁻¹ (|2x|/3) + C
مثال 3 :-احسب تكامل الدالة التالية :
∫ dx / (25 + x²)
الحل :- بإستخدام الصيغة
∫ dx / (a² + x²) = 1/a tan⁻¹ (x/a) + C
حيث a = 5
∫ dx / (25 + x²) = 1/5 tan ⁻¹ (x/5) + C
مثال 4 :-احسب تكامل الدالة التالية :
∫ dx / √ ( 5 - x² )
الحل :- بإستخدام الصيغة
∫ (1 / √a² - x²) dx = sin⁻¹ (x/a) + C
حيث a = √5
∫ dx / √ ( 5 - x² ) = ∫ dx / √ ( (√5)² - x² )
= sin⁻¹ (x/√51) + C
صيغ التكامل المختلفة
Different Integration Formulas
يتم إستخدام أنواع مختلفة من طرق التكامل لحل أنواع مختلفة من أسئلة التكامل. كل طريقة هي نتيجة قياسية ويمكن إعتبارها صيغة. دعونا نتحقق من طرق التكامل الثلاثة المهمة.
• التكامل بصيغة التجزئة Integration by Parts Formula
• التكامل عن طريق صيغة الإستبدال Integration by Substitution Formula
• التكامل بصيغة الكسور الجزئية Integration by Partial Fractions Formula
• التكامل بصيغة التجزئة
يتم تطبيق التكامل بواسطة صيغة التجزئة عندما يتم وصف الدالة المحددة بسهولة على أنها حاصل ضرب دالتين . التكامل عن طريق صيغة التجزئة المستخدمة في الرياضيات موضح أدناه،
∫ u.dv = u.v - ∫ v.du
or
∫ u.v dx = u ∫ v. dx - ∫ ( u' ∫ v.dx) dx
حيث u هي دالة u(x)
v هي دالة v(x)
'u هي مشتقة دالة u(x)
القاعدة العامة التي يجب إتباعها هي اختيار dv أولاً باعتباره الجزء الأكثر تعقيدًا في التكامل الذي يمكن تكامله بسهولة للعثور على v. ستكون الدالة u هي الجزء المتبقي من التكامل الذي سيتم إشتقاقه للعثور على du (u'ا). الهدف من هذه التقنية هو إيجاد التكامل v du ، وهو أسهل في التقييم من التكامل الأصلي.
مثال 1 :- جد تكامل الدالة التالية
∫ x sec² x dx
الحل :- بإستخدام التكامل بالتجزئة
∫ u.dv = u.v - ∫ v.du
نفرض أنّ
u = x & dv = sec²x dx
du = dx v = tan x
∫ x sec² x dx = x tan x - ∫ tan x dx
= x tan x - ( - ln |cos x|) + C
= x tan x + ln |cos x|+ C
مثال 2 :- جد تكامل الدالة التالية
∫ x eˣ dx
الحل :- بإستخدام التكامل بالتجزئة
∫ u.dv = u.v - ∫ v.du
نفرض أنّ
u = x & dv = eˣ dx
du = dx v = eˣ
∫ x eˣ dx = x . eˣ - ∫ eˣ dx
= x eˣ - eˣ + C
= eˣ ( x - 1 ) + C
مثال 3 : جد تكامل الدالة التالية
∫ (x sin2x) dx
الحل :-بإستخدام التكامل بالتجزئة
∫ u.dv = u.v - ∫ v.du
نفرض أن
u = x , dv = sin (2x) dx
du = dx , v = - 1/2 (cos (2x))
∫ u dv = u v - ∫ v du
↓ ↓
∫ x sin 2x dx = x ( - 1/2 cos (2x) ) - ∫ ( - 1/2 cos (2x) ) dx
= - x/2 cos (2x) + 1/2 ∫ ( cos (2x) ) dx
= - x/2 cos (2x) + 1/4 sin (2x) + C
مثال 4 : جد تكامل الدالة التالية
∫ (x sin x) dx
الحل :- بإستخدام التكامل بالتجزئة
∫ u.dv = u.v - ∫ v.du
لنفرض أن
u = x , dv = sin x dx
du = dx, v = - cos x
∫ u dv = u v - ∫ v du
↓ ↓
∫ x sin x dx = x . (-cos x ) - ∫ (-cos x ) dx
= - x cos x - (- sin x ) + C
= - x cos x + sin x + C
للمزيد من الأمثلة : أمثلة وحلول لصيغة التكامل بالتجزئة Integration by Parts - Examples
• التكامل عن طريق الإستبدال/التعويض Integration by Substitution Formula
التكامل عن طريق الإستبدال أو التعويض هو طريقة مهمة للتكامل، والتي تستخدم عندما تكون الدالة المراد تكاملها إما دالة معقدة أو عندما لا يمكن الحصول على تكامل الدالة المعطاة مباشرة، لأن الدالة الجبرية المعطاة ليست في الصورة القياسية. فيتم تبسيط تكامل الدالة من خلال طريقة التكامل بالإستبدال أو التعويض المناسب، وذلك عن طريق إختزال الدالة المعطاة إلى دالة بالشكل القياسي.
في هذه الطريقة، عادةً ما يتم إستبدال الدالة (ما بين الأقواس) بمتغير واحد (غالبًا u). لاحظ أن المشتق أو مضروب الثابت لمشتق الدالة (ما بين الأقواس) يجب أن يكون أحد عوامل التكامل.
إن الغرض من إستخدام تقنية الإستبدال هو إعادة كتابة مسألة التكامل بدلالة المتغير الجديد بحيث يمكن بعد ذلك تطبيق واحدة أو أكثر من صيغ التكامل الأساسية. مما سيجعل تقييم التكامل غير المحدد أسهل بكثير. و لكي تكون الإجابة النهائية منطقية، يجب أن تكون مكتوبة بدلالة المتغير الأصلي للتكامل.
التكامل عن طريق صيغة الإستبدال/ التعويض المستخدمة في الرياضيات موضح أدناه،
∫ f ( g(x) ) . g' (x) dx = ∫ f (u) du
حيث u = g(x)
مثال 1 :- جد تكامل الدالة التالية
∫ x² ( x³ + 1 )⁵ dx
الحل :-
الدالة الداخلية (ما بين الأقواس) هي x³ + 1 ، نعوض ب u كما يلي
u = x³ + 1 → du = 3 x² dx
1/3 du = x² dx
∴ ∫ x² ( x³ + 1 )⁵ dx = 1/3 ∫ u⁵ . du
= 1/3 . u⁶/6 + C
= 1/18 u⁶ + C
= 1/18 (x³ + 1)⁶ + C
مثال 2 :- جد تكامل الدالة التالية
∫ sin (5x) dx
الحل :-
لنفرض أن
u = 5x → du = 5 dx
1/5 du = dx
∴ ∫ sin (5x) dx = 1/5 ∫ sin u du
= - 1/5 cos u + C
= - 1/5 cos (5x) + C
مثال 3 :- جد تكامل الدالة التالية
∫ 3x / √ 9-x² dx
الحل :-
نفرض أن
u = 9 - x² → du = - 2x dx
- 1/2 du = x dx
∴ ∫ 3x / √ 9-x² dx = - 3/2 ∫ 1/√ u du
= - 3/2 ∫ u - ½ du
= - 3/2 [ u½ / ½ ] + C
= - 3 u½ + C
= - 3 √ 9 - x² + C
• التكامل بصيغة الكسور الجزئية Integration by Partial Fractions Formula
التكامل بالكسور الجزئية هو إحدى طرق التكامل الثلاث. وهو أسلوب تكامل يستخدم تحليل الكسور الجزئية لتبسيط التكامل. تتم كتابة التكامل على هيئة كسور جزئية ثم يتم حسابه بإستخدام الطرق القياسية.
إن الفكرة الأساسية في التكامل بالكسور الجزئية هي تحليل المقام الذي يحتوي على حدود معقدة ثم تحليلهما إلى كسرين مختلفين حيث المقامان هما العاملان على التوالي ويتم حساب البسط بشكل مناسب. يوضح الجدول أدناه بعض الكسور الجزئية البسيطة التي يمكن ربطها بدوال نسبية مختلفة.
حيث أن x²+bx+c لا يمكن تحليلها ، كما و أن كل من A وB وC هي أعداد حقيقية ويجب تحديد قيمها بشكل مناسب.
مثال 1 : جد تكامل الدالة التالية
∫ dx / [(x+1) (x+2)]
الحل :-
بإستخدام صيغة الكسر الجزئي من الجدول أعلاه :
1 / [(x+1)(x+2)] = A / (x+1) + B / (x+2)
علينا إيجاد قيمة كل من A و B
A (x+2) + B (x+1) = 1
Ax + 2A + Bx +B = 1
x(A+B) + (2A+B) = 1
A+B = 0 & 2A+B = 1
⇒A = 1 & B = - 1
1 / [(x+1)(x+2)] = 1 / (x+1) - 1 / (x+2)
∴ ∫ dx / [(x+1) (x+2)] = ∫ dx / (x+1) - ∫ dx / (x+2)
= ln |x+1| - ln |x+2| + C
مثال 2 : جد تكامل الدالة التالية
∫ 6 / (x² - 1) dx
الحل :- ⇙
(x² - 1) = (x+1) (x-1)
∫ 6 / (x² - 1) dx = ∫ 6 / (x + 1) (x - 1) dx
بإستخدام صيغة الكسر الجزئي من الجدول أعلاه نحصل على :
6 / (x + 1) (x - 1) = A / (x - 1) + B / (x + 1)
علينا إيجاد قيمة كل من A و B ليكون هناك مقام مشترك في كلا الطرفين
6 / (x + 1) (x - 1) = [A / (x - 1)] [(x+1) / (x+1)] + [B / (x + 1)] [(x - 1) / (x - 1)]
6 / (x + 1) (x - 1) = [A (x + 1) + B (x - 1)] / (x - 1)(x + 1)
ولأن المقامات على كلا الجانبين متساوية، وبالتالي فإن البسطين سيكونان متساوين أيضًا.
6 = [A (x + 1) + B (x - 1)]
A = 3 , B = -3
6 / (x + 1) (x - 1) = 3 / (x-1) + (-3) / (x+1)
∫6 / (x² - 1) dx = ∫ [3 / (x-1) - 3 / (x+1)] dx
= - 3 ln |x+1| + 3 ln |x-1| + C
تعليقات
إرسال تعليق