المعادلة التكعيبية Cubic Equation
هي معادلة جبرية من الدرجة الثالثة، أو هي معادلة كثيرة الحدود ذات الدرجة الثالثة وتسمى بمتعددة الحدود التكعيبي ايضاً، الصيغة العامة للمعادلة التكعيبية هي: ax³ + bx² + cx + d = 0
حيث أن a,b,c هي معاملات coefficients و d هو الثابت constant
أمثلة : 4x³ + 57 = 0 , x³+ 9x = 0 , x³ - 6x² + 11x - 6 = 0
إن الطريقة التقليدية لحل المعادلة التكعيبية هي إختزالها الى معادلة تربيعية ثم حلها إما عن طريق التحليل factoring أو عن طريق الصيغة التربيعية quadratic formula.
وكما إن للمعادلة التربيعية جذران حقيقيان، فإن للمعادلة التكعيبية ثلاثة جذور حقيقية.
ولكن على عكس المعادلة التربيعية، التي قد لا يكون لها حل حقيقي فإن المعادلة التكعيبية لها جذر أو حل حقيقي واحد على الاقل. قد تكون الجذور الاخرى حقيقية أو خيالية، لكن يجب ان يكون واحد على الاقل حقيقي.
إن تمثيل معادلة تكعيبية بإستخدام صيغة معادلة تكعيبية مفيد جداً في إيجاد جذور المعادلة حيث كلما أعْطِيتَ معادلة تكعيبية أو أي معادلة عليك دائماً ترتيبها في شكل قياسي أولاً
على سبيل المثال:
إذا تم اعطاؤك معادلة: 3x² + x - 3 = 2/x
فسنعيد الترتيب في الصيغة القياسية وتكتب بالشكل التالي: 3x³ + x² - 3x - 2 = 0
ثم يمكنك حل هذا بالطريقة المناسبة.
في هذه المقالة سيتم التعرف على كيفية حل المعادلات التكعيبية بإستخدام طرق مختلفة مثل :
- طريقة القسمة Division method
- نظرية العوامل factor theorem
- العوامل بالتجميع factoring by grouping
- طريقة القسمة Division method:
قسمة كثيرات الحدود هي عملية حسابية، حيث نقسم كثير الحدود على كثير حدود اخر، ويكون بشكل عام بدرجة اقل مقارنة بالمقسوم.إن قسمة كثيرات الحدود هي خوارزمية لحل عدد منطقي يمثل كثير الحدود مقسوما على احادي او متعدد الحدود آخر .يتم وضع المقسوم (dividend) والمقسوم عليه (divisor) بنفس الطريقة تماما كما نفعل مع القسمة العادية.على سبيل المثال اذا اردنا قسمة 2x³+3x²+11x-6 على x-2 نكتبها كما يلي:
2x+3x-11x-6 حيث ان كثير الحدود المكتوب على خط القسمة هو البسط (المقسوم dividend) x-2 بينما كثير الحدود المكتوب أسفل خط القسمة هو المقام (المقسوم عليه divisor)
ان الطريقة العامة والاكثر شيوعاً لتقسيم كثيرات الحدود على ذات حدين أو أي نوع آخر من كثيرات الحدود هي طريقة القسمة المطولة long division method.يمكن استخدام عملية القسمة المطولة عند عدم وجود عوامل مشتركة بين البسط والمقام، أو إذا لم تتمكن من إيجاد العوامل.
خطوات الحل بطريقة القسمة المطولة:
- قسّم الحد الاول من المقسوم على الحد الاول للمقسوم عليه، وضع ذلك على أنه الحد الاول في حاصل القسمة.
- اضرب المقسوم عليه بهذه الاجابة، ضع حاصل الضرب أسفل المقسوم.
- إطرح لتكوين كثير حدود جديد.
- نكرر العملية مع كثير الحدود الجديد الذي تم الحصول عليه بعد الطرح.
x³-5x²-2x+24
x-3
الحل:
الخطوة 1: نقسم الحد الاول من المقسوم (x³) على الحد الاول للمقسوم عليه، ثم وضع ذلك على انه الحد الاول في حاصل القسمة (x²).
x²
x-3|x³ - 5x² - 2x + 24
x³ - 3x²
- 2x² - 2x
الخطوة 2 : أضرب المقسوم عليه بهذه الاجابة، ضع حاصل الضرب (x³ -3x² ) أسفل المقسوم (x³-5x²-2x+24).
الخطوة 3: إطرح لتكوين كثير حدود جديد (2x²-2x-).
الخطوة 4: نكرر العملية مع كثير حدود الجديد الذي تم الحصول عليه بعد الطرح.
x²-2x - 8
x-3|x³ - 5x² - 2x + 24
x³ - 3x²
- 2x² - 2x
2x² + 6x -
24 + 8x -
24 + 8x -
0
لذلك عندما نقسم كثير الحدود (x³-5x²-2x+24) على ذات الحدين(x-3) بطريقة القسمة المطولة يكون حاصل القسمة (x²-2x-8) والباقي 0.
إن طريقة الحل بإستخدام القسمة المطولة طويلة جداً وتستغرق وقتاً طويلاً للحصول على حاصل القسمة والباقي، خصوصاً إذا كانت كثيرات الحدود من الدرجة الاعلى.لذا يجب أن تكون حذراً جداً عند طرح القيم السالبة كما يجب التأكد من كتابة الحدود بشكل صحيح.أما طريقة القسمة التركيبية فهي سهلة وسريعة ومباشرة، تساعد على توفير الكثير من الوقت عند مقارنتها بالطرق التقليدية الاخرى.لكن يجب ملاحظة أنه لايمكن إستخدام القسمة التركيبية synthetic division إلا إذا كنت تقسم على عامل خطي linear factor في الصورة x-a.
القسمة التركيبية Synthetic division:
هي طريقة مختصرة لتقسيم كثير الحدود على كثير الحدود الخطي linear polynomial (متعدد الحدود من الدرجة 1). إنها طريقة مبسطة لإيجاد إصفار كثيرات الحدود ومن مزايا طريقة القسمة التركيبية على طريقة القسمة المطولة في أن التقسيم التركيبي يتم يدويا بجهد أقل نظرا لأن القسمة التركيبية تسمح للشخص بالحساب دون كتابة المتغيرات أثناء إجراء قسمة متعددة الحدود، فهو يقلل من فرص إرتكاب الأخطاء التي تحصل عند حل مسألة بإستخدام طريقة القسمة المطولة.
في القسمة التركيبية يتم قسمة كثير الحدودpolynomial p(x) من الدرجة n على كثير الحدود الخطي (x-a) linear poly nomial كمقسوم عليه نحصل على حاصل متعدد الحدود (x)Q من الدرجة (n-1) وثابت R على انه الباقي remainder.
خطوات الحل بطريقة القسمة التركيبية:
- أكتب a للمقسوم عليه.
- أكتب معاملات المقسوم ، في حالة أن يكون أحد المعاملات مفقوداً فقم بإضافته بمعامل 0.
- أنزل المعامل الرئيسي.
- أضرب المعامل الرئيسي في a ثم أكتب المنتج في العمود التالي.
- أضف (إجمع) معاملات لعمود الثاني.
- اضرب الناتج في a. وأكتب المنتج في العمود الثاني.
- كرر الخطوتين (5)و (6) لباقي الأعمدة.
- إستخدم الأرقام السفلية لكتابة حاصل القسمة. الرقم الموجود في العمود الاخير هو الباقي ودرجته 0
[المثال التالي سيساعدك في فهم العملية بشكل اوضح]:
إقسم (3x³+19x²-30x+15-) على (x-4)
الحل :- لاحظ أن (x-4) هي كثيرة الحدود الخطية (الدرجة 1) أو عامل خطي linear factor ، لذا فإن القسمة التركيبية Synthentic Division هي الطريقة المناسبة .
الخطوة 1 : نساوي المقسوم عليه أو (المقام) ب0 لإيجاد العدد المطلوب .
x - a = x - 4 ⟹ a = 4
الخطوة 2 : معاملات 3x³+19x²-30x+15- هي 15, 30-, 19, 3- تأكد من ترتيب المعاملات تنازلياً ، واذا كان أحد الحدود مفقوداً (غير موجود) فقم بإضافته بمعامل 0 .
15 30- 19 3-
4
الخطوة 3 : المعامل الرئيسي هو 3- ويتم إسقاطه
15 30- 19 3-
⬇ 4
3 -
الخطوة 4 : اضرب المعامل الأساسي 3 في (a) = 4 ثم اكتب الناتج في العمود التالي
15 30- 19 3-
⬇ 4
3 - ⇖ (ضرب)
الخطوة 5 : إجمع العمود الثاني .
15 30- 19 3-
12- ⬇ 4
7 3-
الخطوة 6 : اضرب الناتج ب (a) =4 ثم اكتب الناتج في العمود التالي
15 30- 19 3-
28 12- ⬇ 4
7 3-
الخطوة 7 : كرر الخطوتين 5 و 6 للأعمدة المتبقية ، أي إجمع وأضرب تدريجياً .
15 30- 19 3-
8- 28 12- ⬇ 4
7 2- 7 3-
الجواب هو 7, 2-, 7, 3- ، والباقي 7
لذلك حاصل القسمة هو 7+ (3x²+7x-2-)(x-4)
نظرة سريعة لطريقتي القسمة (القسمة المطولةlong division) و (القسمة التركيبيةsynthetic division )
مثال : x³ - 5x² - 2x + 24
x - 2
Long division Synthetic Division
24 2- 5- 1 | 3 x² - 2x - 8
24- 6- 3 ⬇ x-3 ) x³ - 5x²- 2x+ 24
0 8- 2- 1 ⇖(ضرب) x³ - 2x²
2x² - 2x + 24-
2x² + 6x-
8x + 24-
8x + 24-
0
الجواب x² - 2x - 8
تذكر!
المعادلة كثيرة الحدود polynomial equation:
هو تعبير جبري يتكون من حدين أو اكثر مطروحاً أو مضافاً أو مضروباً، يمكن ان يحتوي كثير الحدود على معاملات ومتغيرات وأسس وثوابت وعوامل مثل الجمع والطرح.
من المهم ايضاً ملاحظة ان كثير الحدود لايمكن ان يحتوي على أس كسري أو سالب.
الشكل العام لكثير الحدود هو: axⁿ + bxⁿ⁻¹ + cxⁿ⁻² +....+kx+1
حيث يكون لكل متغير ثابت يرافقه كمعامل
تشمل الانواع المختلفة من كثيرات الحدود، ذات حدين binomials، ثلاثية الحدود trinomials والرباعية الحدود quadrinomials
من امثلة كثيرات الحدود:
x²+5xy-ax+2ay , 6x²+3x+2x+1 , 2x+1
- نظرية العوامل Factor Theorem
إذا كان (x-a) هو عاملاً للتعبير التكعيبي ، فان 0 =(a)f .
لذا سنعوض بقيم .....,x = 士1, 士2 ، إلى أخره حتى نجد قيمة تجعل التعبير مساوياً للصفر.
مثال :- أوجد جذور المعادلة التكعيبية x³ - 5x + 2 = 0 .
الحل :- نظراً لوجود الثابت وهو 2 ، فإن المعادلة التكعيبية تُحَل بطريقة (نظرية العوامل ) للتحقق من القيم المحتملة عن طريق التجربة والخطأ (trial &error).
ولأن الثابت =2 ، لذا فأن عوامل العدد 2 هي 士1 , 士2
2 - = 2 + (1)x = 1 : (1)³ -5
6 = x = -1 : (-1)³ -5(-1) + 2
0 = 2 + (2)x = 2 : (2)³ -5
اذن (x-2 ) هو العامل .
مثال 2 :- أوجد جذور المعادل التكعيبية التالية 2x³ + 3x² - 11x - 6 = 0
الحل :-
الثابت =6 ، لذا فأن العوامل المحتملة هي 1士, 士2 , 土3, 士6
سنتحقق من القيم عن طريق التجربة والخطأ
0 ≠ x = 1 : 2(1)³ + 3 (1)² - 11 (1) - 6
0 ≠ 6 = 6 - (1-)11 - ²(1-)3+ ³(1-)2 : x = -1
0 =6 - (2)x = 2 : 2(2)³ + 3(2)² - 11
اذن x = 2 هو الجذر الاول
وحسب نظرية العوامل فأن (x-2) هو العامل الأول للمعادلة التكعيبية .
- العوامل بالتجميع factoring by grouping
في هذه الطريقة يجب أن يكون لدينا جميع الحدود الأربعه في المعادلة التكعيبيه ، ثم نقرن الحدود بعامل مشترك، ونرى ما إذا كان هناك قوس مشترك بينهم.
مثال :- أوجد جذور المعادلة التكعيبية x³ + 2x² - 9x - 18 = 0
الحل :-
x³ + 2x² - 9x - 18 = 0
0 = (9x + 18) - ( x³ + 2x²)
x²(x+2) - 9(x+2) = 0
0 = (x² - 9) (x + 2)
0 = (x+3)(x-3) (x+2)
∴ x= -2 , x = 3 , x = 3
تعليقات
إرسال تعليق