المعادله التفاضلية
حساب التفاضل والتكامل هو رياضيات التغيير، ويتم التعبير عن معدلات التغيير بالمشتقات، وبالتالي فإن إحدى الطرق الأكثر شيوعاً لإستخدام حساب التفاضل والتكامل هي إعداد معادلة تحتوي على دالة غير معروفة (x)y = f ومشتقاتها، والمعروفة بإسم (المعادلة التفاضلية)، غالباً ما يوفر حل مثل هذه المعادلات معلومات حول كيفية تغير الكميات ويوفر بشكل متكرر نظرة حول كيفية حدوث التغييرات وسبب حدوثها.
المعادلة التفاضلية في الرياضيات هي معادلة رياضية تتضمن دالة واحدة أو أكثر ومشتقاتها.
يتم تحديد معدل تغير الدالة عند نقطة ما من خلال مشتقاتها .
والمشتق هو معدل تغير دالة بالنسبة لمتغير، حيث أن المعادلة التفاضلية تساعدنا على تقديم علاقة بين الكمية المتغيرة فيما يتعلق بالتغيير في كمية اخرى. لذا فإن المشتقات اساسية لحل المشاكل في حساب التفاضل والتكامل والمعادلات التفاضلية.
تتغير الاشياء من عالمنا، وغالباً ماينتهي وصف كيفية تغيرها كمعادلة تفاضلية. حيث يمكن أن تصف المعادلات التفاضلية كيف يتغير السكان وكيف تتحلل المواد المشعّة وكيف تتغير الحرارة وغيرها كثير. انها طريقة طبيعية جداً لوصف اشياء كثيرة في الكون.
تتمتع هذه المعادلات بقدرة مذهلة على التنبؤ بالعالم من حولنا، فهذه المعادلات تستخدم في مجموعة متنوعة من التخصصات من علم الفيزياء والاقتصاد والكيمياء والاحياء والهندسة. حيث أن الهدف الأساسي للمعادلة التفاضلية هو تحليل الحلول التي تُلبّي وتحقق المعادلات وخصائص الحلول.
لذا فإن المعادلة التفاضلية تعتبر من تلقاء نفسها طريقة رائعة للتعبير عن شيء ما، ولكن يصعب استخدامها لذلك نحاول حلّها عن طريق تحويل المعادلة التفاضلية الى معادلة أبسط. حتى نتمكن من إجراء الحسابات وإنشاء الرسوم البيانية والتنبؤ بالمستقبل وما الى ذلك.
يمكن أن تتخذ تقنيات حل المعادلات التفاضلية عدة اشكال مختلفة بما في ذلك الحل المباشر أو استخدام الرسوم البيانية أو حسابات الكومبيوتر.
سنناقش في هذه المقالة ماهية المعادلات التفاضلية وأنواعها، طرق حل المعادلة وبعض المسائل والأمثلة المحلولة.
المعادلة التفاضلية The Differential Equation
تعريف :
هي معادلة تحتوي على مشتق واحد على الأقل من دالة غير معروفة y=f(x) أو يمكن تعريف المعادلة التفاضلية بأنها معادلة تربط بعض الدوال بمشتقاتها. في تطبيقات الحياة الواقعية تمثل الدوال بعض الكميات المادية بينما تمثّل مشتقاتها معدل تغيّر الدالة فيما يتعلق بمتغيّراتها المستقلة.
يمكن تصنيف المعادلات التفاضلية بعدة طرق أبسطها على أساس رتبة و درجة المعادلة التفاضلية. هذا تصنيف مهم لأنه بمجرد تجميعه تحت هذه الفئة يكون من السهل العثور على الحلول العامة للمعادلات.
مثال : y″ + 2y′ = 3y معادلة تفاضلية
كما يمكن كتابتها بالصيغه التالية
f″(x) + 2f′(x) = 3y
أيضاً يمكن كتابتها بالصيغة d²y/dx² +2 dy/dx = 3y
رتبة المعادلة التفاضلية Order Of a Differential Equation
تعريف :
رتبة المعادلة التفاضلية هي رتبة المشتق الأكبر أو الأعلى في المعادلة التفاضلية، عادةً ما تكون رتبة المعادلة التفاضلية عدداً صحيحاً موجباً.
أمثلة:
- y′ = eˣ tany معادلة تفاضلية من الرتبة 1
- 4 d⁵y/ dx ⁵ + cosx dy/dx = 0 معادلة تفاضلية من الرتبة 5
- 3y″ - 2y′ = 7 معادلة تفاضلية من الرتبة 2
- معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى First-Order Differential Equation:
المشتقات المعّبر عنها كمعادلة خطية تكون دائماً من الدرجة الأولى (الرتبة) . فقط المشتق الأول مثل dy/dx موجود في مثل هذه المعادلات . ويتم تمثيلها كالتالي :
dy/dx = y′ = f′ (x,y)
- معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية Second-Order Differential Equation:
هي المعادلة التي تتضمن مشتق من الدرجة الثانية، ويتم تمثيلها على النحو التالي :
d²y/dx² = y″ = f″ (x) = d/dx (dy/dx)
- معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية Second-Order Differential Equation:
درجة المعادلة التفاضلية Degree Of a Differential Equation
تعرّف درجة المعادلة التفاضلية بأنها القوة (الأس) التي يُرفع إليها المشتق الأعلى رتبة في المعادلة.
أمثلة:
- d²y/dx² + 2(dy/dx) + y = 0 معادلة تفاضلية من الرتبة 2 والدرجة 1
- (y‴)³ + 2y″ + 6y′ - 12 = 0 معادلة تفاضلية من الرتبة 3 والدرجة 3
- (d²y/dx²)⁴ + dy/dx = 3 معادلة تفاضلية من الرتبة 2 والدرجة 4
أنواع المعادلات التفاضلية Types of Differential Equation
تُصنف المعادلات التفاضلية الى:
- المعادلات التفاضلية العادية (Ordinary Differential Equations (ODE
- المعادلات التفاضلية الجزئية (Partial Differential Equations (PDE
- المعادلات التفاضلية العادية (ODE) :
هي معادلة تحتوي على متغيّر مستقل واحد فقط، وواحد أو أكثر من مشتقاتها فيما يتعلق بالمتغيّر وهكذا، يتم تمثيل المعادلة التفاضلية العادية كعلاقة بين متغيّر مستقل واحد x ومتغيّر تابع y جنباً الى جنب مع بعض مشتقاته. y′, y″, ..., yⁿ
هي معادلة تحتوي على متغيّر مستقل واحد فقط، وواحد أو أكثر من مشتقاتها فيما يتعلق بالمتغيّر وهكذا، يتم تمثيل المعادلة التفاضلية العادية كعلاقة بين متغيّر مستقل واحد x ومتغيّر تابع y جنباً الى جنب مع بعض مشتقاته.
y′, y″, ..., yⁿ
يمكن أن تكون المعادلة التفاضلية العادية متجانسة Homogeneous أو غير متجانسة Non- Homogeneous
معادلة تفاضلية متجانسة: تُعرّف المعادلة التفاضلية التي تكون فيها درجة جميع الحدود متشابهة بإسم المعادلة التفاضلية المتجانسة، بشكل عام يمكن تمثيلها على إنها P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 حيث ان :
P(x,y) , Q(x,y) هي دوال متجانسة من نفس الدرجة. أمثلة تمثل دوال تفاضلية متجانسة :
- y + x(dy/dx) = 0 معادلة تفاضلية متجانسة من الدرجة 1
- x⁴ + y⁴ (dy/dx) = 0 معادلة تفاضلية متجانسة من الدرجة 4
- xy(dy/dx) + y² + 2x = 0 معادلة تفاضلية غير متجانسة
معادلة تفاضلية غير متجانسة:
تُعرف المعادلة التفاضلية التي تختلف فيها درجة جميع الحدود بإسم المعادلة التفاضلية الغير متجانسة
مثال:
xy(dy/dx) + y² + 2x = 0 معادلة تفاضلية غير متجانسة
- المعادلة التفاضلية الجزئية (PDE):
تسمى المعادلة التي تتضمن فقط مشتقات جزئية لدالة واحدة أو أكثر من متغيرين مستقلين أو أكثر بالمعادلة التفاضلية الجزئية
∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0
حل المعادلة التفاضلية
حل المعادلة التفاضلية يعني إيجاد معادلة لاتحتوي على أي مشتقات ومع ذلك يجب أن تفي هذه المعادلة بالمعادلة التفاضلية التي يتم حلها.
يتضمن حل المعادلة التفاضلية تكامل أو أكثر. ولتحديد طريقة مناسبة لحل المعادلة التفاضلية من المهم جداً تحديد نوع المعادلة التفاضلية التي يتم حلها.
هناك نوعان من حلول المعادلات التفاضلية هما الحل العام General solution والحل الخاص particular solution.
تستخدم الحلول العامة والخاصة للمعادلات التفاضلية بعض خطوات التكامل لحل المعادلات، لذا يمكن تصنيف الحل الى نوعين:
- الحل العام General solution: يسمى الحل الذي يتكون من العديد من الثوابت العشوائية بالحل العام.
- الحل الخاص Particular Solution: يتم الحصول على حل خاص عن طريق تعيين قيم معينة للثوابت العشوائية في الحل العام للمعادلة التفاضلية، ومن ثم يكون الحل الناتج هو حل معين أو خاص.
- إنّ نتيجة إزالة ثابت عشوائي واحد ينتج عن معادلة تفاضلية من الدرجة الاولى First-order DE
- وإنّ نتيجة إزالة ثابتين عشوائيين تؤدي الى معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية Second-order DE
توجد عدة طرق لحل المعادلة التفاضلية من الدرجة الاولى Methods to Solve First Order
, First Degree Differential Equations
- طريقة المعادلة التفاضلية القابلة للفصل Separable Differential Equation
- معادلات خطية من الدرجة الاولى First-Order , Linear Equations
- معادلة متجانسة Homogeneous Equations
1) طريقة المعادلة التفاضلية القابلة للفصل Separable Differential Equation
المعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى ،الدرجة الأولى في الشكل
(1) ..... dy/dx = f(x,y)
إذا كانت f(x,y) يتم التعبير عنها على إنها حاصل ضرب f(x)g(y) ، حيث أن f(x) هي دالة للمتغير x ، و g(y) دالة للمتغير y ، عندها يقال أن المعادلة التفاضلية قابلة للفصل. وبالتالي يمكننا كتابة المعادلة (1) بالشكل dy/dx = f(x) g(y).
والآن يمكن إتباع ثلاث خطوات لإيجاد الحل بإستخدام طريقة المتغير القابل للفصل أو المعادلة التفاضلية القابلة للفصل :
خطوة (1): اُنقل كل حدود y وبما في ذلك dy إلى أحد طرفي المعادلة وليكن (الطرف الأيسر) ، كذلك بالنسبة للمتغيرx ، انقل كل حدود x بما في ذلك dx إلى الطرف الآخر وليكن (الطرف الأيمن) للمعادلة.
خطوة (2): تكامل كلا الطرفين، كامل أحد الأطراف بالنسبة لy ، و كامل الطرف الآخر بالنسبة لx ، ثم أضف ثابت التكامل .
خطوة (3): بَسّط النتيجة النهائية إلى أبسط صوره.
مثال : حل المعادلة التفاضلية التالية dy/dx = y (3-x)
نلاحظ أن المعادلة التفاضلية في هذا المثال لها الشكل f(x)g(y) ،حيث أن
. y دالة للمتغير g(y) = y وأن ، x دالة للمتغير f(x) = (3-x)
- انقل المتغير y للطرف الأيسر من المعادلة والمتغير x للطرف الأيمن من المعادلة
1) dy/y = (3-x) dx
2) ഽdy/y = ഽ(3-x) dx تكامل كلا الطرفين -
ln|y| = 3x - x² + c
2
3) y = e³ˣ⁻ˣ²/²+c ثابت التكامل c ، بسّط النتيجة إلى أبسّط صورة -
2) معادلات خطية من الدرجة الاولى First-Order , Linear Equations
تتضمن المعادلة التفاضلية الخطية متغيرًا ، ومشتقًا من هذا المتغير ، وعدد قليل من الدوال الأخرى.
الصيغة القياسية للمعادلة التفاضلية الخطية هي dy/dx +Py = Q ،حيث إن P و Q هي دوال للمتغير x.
خطوات حل المعادلة التفاضلية الخطية بإستخدام طريقة خاصة :
- نفرض أن y = uv ، حيث ان كلاً من u و v هما دالتين جديدتين في المتغير x.
- نحلها لإيجاد u ، وثم نجد v . حيث نستخدم مشتقة y=uv.
dy/dx = u dv/dx + v du/dx
خطوات الحل :
خطوة 1 : نفرض أن y = uv ومشتقتها هي dy/dx = u dv/dx + v du/dx ، ثم قُم بتعويضهما في المعادلة التفاضلية الخطية
dy/dx + P(x)y= Q
خطوة 2 : نستخرج v كعامل مشترك، من الحدود التي تتضمن v.
خطوة 3 : ضع الحد v مساويًا للصفر (وهذا يعطي معادلة تفاضلية في u و x يمكن حلها في الخطوة التالية)
خطوة 4 : حل باستخدام فصل المتغيرات لإيجاد u .
خطوة 5 : عوض u مرة أخرى في المعادلة التي حصلنا عليها في الخطوة 2 .
خطوة 6 :حل لإيجاد v .
خطوة 7 : أخيرًا ، عوض u و v في y = uv لتحصل على الحل .
مثال :حل المعادلة التفاضلية dy/dx - 3y/x = x
الحل : dy/dx - 3y/x = x معادلة خطية، كما هو الحال في الشكل dy/dx +Py = Q
حيث أن
P(x) = -3/x وأن Q(x) = x
لذلك دعنا نتبع الخطوات:
1) نفرض y = uv , و dy/dx = u dv/dx + v du/dx
لذا فإن dy/dx - 3x/x = x
يصبح هكذا u dv/dx + v du/dx - 3uv/x = x
2) نستخرج v كعامل مشترك.
u dv/dx + v (du/dx -3u/x) = x
3) ضع الحد v يساوي صفرًا
الحد v= 0
du/dx - 3u/x = 0
فإن du/dx = 3u/x
4) حل باستخدام فصل المتغيرات لإيجاد u
du/u = 3 dx/x فصل المتغيرات
ضع علامة التكامل للطرفين، ثم كامل ∫du/u = 3 ∫dx/x
ln(u) =3 ln(x) + c
ln(u) =3ln(x) -ln(k) إجعل ثابت التكامل c = -ln(k)
ln(u) + ln(k) = 3ln(x)
uk =x³ ثم
u = x³/k
5) عوّض u مرة أخرى في المعادلة في الخطوة 2
x³/k) dv/dx = x) (لا ننسى ان الحد v يساوي صفراً لذا يمكن تجاهله)
6) حل لإيجاد v
dv = kx⁻² dx فصل المتغيرات
ضع علامة التكامل للطرفين، ثم كامل كلا الطرفين∫dv = ∫kx⁻² dx
v = -k x⁻¹ + D
7) عوّض في y = uv لإيجاد حل المعادلة الأصلية.
y = uv : y = x³/k( -kx⁻¹+D )
y = -x² + (D/k)x³ : تبسيط
y = cx³ - x² : استبدال D/k بثابت واحد c
y = cx³ - x² لقيّم مختلفه من الثابت c
3) معادلة متجانسة Homogeneous Equations
المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى تكون متجانسة عندما يمكن أن تكون في الصيغة
0 dy/dx =F(y/x)
و يمكن حلها باستخدام فصل المتغيرات ولكن أولاً نقوم بإنشاء متغير جديد وهو y= vx ، وأن
dy/dx = v dx/dx + xdv/dx ( بإستخدام قاعدة الضربproduct rule)
وبعد تبسيطها نحصل على dy/dx = v + x dv/dx
ملاحظه: لا تحتوي المعادلة التفاضلية المتجانسة على أي حد ثابت داخل المعادلة.
بعض الأمثلة على المعادلة التفاضلية المتجانسة هي
- (dy/dx = (x+y)/(x-y
- dy/dx = x(x-y)/ y²
مثال :حل المعادلة التفاضلية التالية :
dy/dx = y(x-y)/ x²
y(x-y) / x² نبدأ مع
xy/ x² - y²/x² فصل الحدود
y/x - (y/x)² تبسيط
∴ dy/dx = y/x - (y/x)²
y = vx & dy/dx = v + x dv/dx نفرض
v + x dv/dx = vx/x - (vx/x)²
v + x dv/dx = v - v² من كلا الطرفين v إطرح
x dv/dx = -v²
الان نستخدم فصل المتغيرات
-1/v² dv =1/x dx ضع علامة التكامل لكلاالطرفين
- ∫ 1/v² dv =∫ 1/x dx
1/v = ln(x) + c تكامل الطرفين
c = ln (k) ثم نجعل ثابت التكامل
1/v = ln(x) + ln(k)
1/v = ln(kx) تبسيط
v =1/ ln(kx)
y = vx في vنعوّض قيمة
y = 1/ln(kx) x = x / ln(kx)
تعليقات
إرسال تعليق