نظام الإحداثيات الديكارتية
نظام الأحداثيات الديكارتيه هو فرع من فروع الرياضيات يُخبرنا عن كيفية تمثيل كل نقطة بشكل فريد في مستوى إحداثيات الأبعاد n. من خلال رقمين، يُطلق عليهما عادةً إحداثي س (x) وإحداثي ص (y) للنقطة.
يُطلق على المستوى إسم مستوى الأحداثيات the coordinates plane أو مستوى الديكارتي the cartesian plane ، ويتم إنشاؤه بواسطة محورين أو خطين متعامدين متقاطعين ويُطلق عليهما بمحاور إحداثيات النظام the coordinate axes of the system. يسمى الخط الافقي بالمحور السيني x-axis، والخط العمودي يسمى بالمحور الصادي y-axis. وتُشير نقاط الإحداثيات (x,y) إلى المسافات الافقية و العمودية.
يُقَسّم محورا الإحداثيات المستوى إلى أربعة أجزاء تسمى الأرباع (Quadrants) .
الربع الأول تكون فيها إحداثيات النقطة (+س،+ص) أو (x ,+y+) .
الربع الثاني تكون فيها إحداثيات النقطة (-س،+ص) أو (x ,+y-) .
الربع الثالث تكون فيها إحداثيات النقطة (-س،-ص) أو (x ، - y-) .
الربع الرابع تكون فيها إحداثيات النقطة (+س،-ص) أو (x , -y+) .
إنّ نقطة تقاطع المحاور هي صفر النظام الديكارتي، ويشار إلى إحداثيات الأصل بالرمز (0،0).
ولتحديد موضع أي نقطة ن أو p في المستوى، بدءاً من نقطة الاصل تحرك يميناً مسافة x إذا كانت موجبة ،وتحرك إلى اليسار إذا كانت سالبة، كذلك تحرك لأعلى مسافة y إذا كانت موجبة وتحرك لأسفل إذا كانت سالبة.
بصيغةٍ اُخرى، نقيس المسافة x التي يجب أن تتحركها على طول X، ثم المسافة التي يجب أن تتحركها y موازية ل Y، للوصول من نقطة الأصل إلى p. [كما يمكن أن تكون المسافات سالبة] .
فمثلاً إذا كان عليك التحرك لليسار ، فسيكون x سالبة، وبالمثل إذا كان عليك التحرك لأعلى على Y فإن y ستكون موجبة .
مثال :- إرسم النقاط التالية :
أ (٣،-٢) ، ب (١ ،٤) ، ج (-٣،-١) ، د (٠، ٢).
الحل :-
الرقم الأول لكل نقطة هو س (x) ويُشير إلى أي مدى يمين /يسار للانتقال من الأصل.
الرقم الثاني للنقطة هو ص (y) ويُشير إلى أي مدى أعلى /أسفل للأنتقال من الأصل.
النقطة أ (٣،-٢)،(2- ,3) من نقطة الأصل حرّك ٣ لليمين و ٢ للأسفل.
النقطة ب (١، ٤)(4 ,1) من نقطة الأصل حرّك ١ لليمين و ٤ للأعلى .
النقطة ج (-٣،-١)(1- ,3-) من نقطة الأصل حرّك ٣ يساراً و ١ للأسفل .
النقطة د (٠، ٢)(2 ,0) من نقطة الأصل حرّك ٠ يساراً و ٢ للأعلى .
إنّ نظام الأحداثيات الديكارتية هو أساس الهندسة التحليليه حيث يساعد في تمثيل الخطوط والمنحنيات والأشكال الهندسية في المستوى n ذي الأبعاد، بواسطة المعادلات الجبرية، أي المعادلات التي تحققها إحداثيات النقاط الموجودة على الشكل.
تم تطوير العديد من أنظمة الإحداثيات الأخرى مثل الاحداثيات القطبية للمستوى، والاحداثيات الكروية والاسطوانية للفضاء ثلاثي الأبعاد.
ملاحظة 1 :-
يمكن إستخدام الإحداثيات الديكارتية ليس فقط لتحديد موقع النقاط ، ولكن أيضاً لتحديد إحداثيات المتجهات the coordinate vectors. إن الإحداثيات الديكارتية للمتجهات ثنائية أو ثلاثية الابعاد تماماً مثل تلك الخاصة بالنقاط في المستوى أو الفضاء ثلاثي الأبعاد .
ملاحظة 2 :-
إنّ أنظمة الإحداثيات الاخرى ، مثل الإحداثيات الكروية، تحدد الإحداثيات الديكارتية نقطة فريدة لكل زوج (x,y) (س،ص) أو ثلاثي (x,y,z) (س،ص،ع) من الأرقام، وكل تنسيق يمكن أن يأخذ أي قيمة حقيقية.
في نظام الاحداثيات الديكارتية هنالك عدة أبعاد، نبدأ عموماً ببُعد واحد، ثم ثنائي الأبعاد، ثم ثلاثي الأبعاد.
وإليك توضيح لكل من هذه الأبعاد الثلاثة للأنظمة الديكارتية .
1- نظام تنسيق ديكارتي أُحادي البعد One Dimensional Cartesian Coordinate System
نظام الإحداثيات الديكارتية للفضاء أُحادي البُعد هو خط مستقيم له نقطة أصل origin. وجانب موجب وجانب سالب من الخط ويسمى بخط الأعداد ويستخدم لتمثيل الأعداد الحقيقية.
أُحادي البُعد يعني أنّ المستوى يحتوي على خط أُفقي أو خط عمودي. إذا تم رسم الخط اُفقياً فسيتم إعتبار الجانب الأيمن موجباً والجانب الأيسر سالباً بينما إذا كان الخط عمودياً، فسيتم إعتبار الجانب العلوي من الخط موجباً والجانب السفلي من الخط سالباً.
2- نظام تنسيق ديكارتي ثنائي الأبعاد Two Dimensional Cartesian Coordinate System
يُقّسّم المستوى الديكارتي مساحة المستوى إلى بُعدين ويُفيد في تحديد موقع النقاط بسهولة. ويُشار إليه أيضاً بإسم المستوى الإحداثي. ومحورا مستوى الإحداثيات هما المحور السينيx-axis الافقي والمحور العمودي الصادي y-axis . محاور الإحداثيات يُقّسم المستوى إلى أربعة أرباع، ونقطة تقاطع هذه المحاور هي نقطة الأصل (0,0) . يُشار إلى أي نقطة p في مستوى الإحداثيات بنقطة (x,y)، حيث تكون قيمة x في موقع النقطة بالإشارة إلى المحور x، وقيمة y هي موقع النقطة بالإشارة إلى المحور y.
3- نظام تنسيق ديكارتي ثلاثي الأبعاد Three Dimensional Cartesian Coordinate System
في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يعتمد نظام الاحداثيات الديكارتية على ثلاثة محاور، المحور السينيx-axis، والمحور الصادي y-axis، والمحور العمودي z-axis بشكل متبادل مع بعضها البعض ولها نفس وحدات الطول في جميع المحاور الثلاثة. تتقاطع المحاور الثلاثة عند نقطة الأصل. ويتم تمثيل أي نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد بالإحداثيات (س،ص،ع) (x,y,z).
صيغ النظام الديكارتي Cartesian System Formulas
إنّ صيغ نظام الإحداثيات الديكارتية تساعد في إثبات الخصائص المختلفة للخطوط، المنحنيات، والمستوى بشكل ملائم في نظام ثنائي وثلاثي الأبعاد.
حيث أن صيغ نظام الإحداثيات الديكارتية تتضمن صيغة المسافة the distance formula ، صيغة الميل slope formula ، وصيغة نقطة المنتصف midpoint formula ، صيغة المقطع section formula ، معادلات الخط في بُعدين وثلاثة أبعاد equations of a line in two and three dimensions ، معادلات المنحنيات equations of curves، ومعادلات المستوى equations of a plane .
حيث أن صيغ نظام الإحداثيات الديكارتية تتضمن صيغة المسافة the distance formula ، صيغة الميل slope formula ، وصيغة نقطة المنتصف midpoint formula ، صيغة المقطع section formula ، معادلات الخط في بُعدين وثلاثة أبعاد equations of a line in two and three dimensions ، معادلات المنحنيات equations of curves، ومعادلات المستوى equations of a plane .
صيغة المسافة The Distance formula
تستخدم صيغة المسافة لحساب المسافة بين نقطتين، ونقطة وخط، وقطعتين من الخط وبين مستويين متوازيين. و يتم اشتقاق صيغة المسافة بإستخدام نظرية فيثاغورس.
بعد أن أصبحت النقاط موجوده على المستوى الديكارتي ،قد يكون من الجيد معرفة مدى تباعدها.
إنّ المسافة بين نقطتين (س₁،ص₁) و (س₂،ص₂) أو ( x₁ ,y₁) و (x₂,y₂) يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي الفرق بين إحداثيات س (x) وإحداثيات ص (y) للنقطتين المعطاة،
صيغة المسافه بين نقطتين هي :
D =√ (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
- المسافة بين نقطتين Distance between two points
المسافة بين نقطتين هي طول المقطع المستقيم الذي يربط النقطتين المحددتين، إن المسافة بين نقطتين تكون دائماً موجبة.
يمكن إيجاد المسافة بين نقطتين في هندسة الإحداثيات بإيجاد طول المقطع المستقيم الذي يربط الاحداثيات المحددة. يتم احتساب المسافة بين نقطتين في مستوي ثنائي الابعاد Distance between two points in a 2D plane و في مستوي ثلاثي الابعاد Distance between two points in a 3D plane
صيغة المسافة d بين نقطتين إحداثياتها ( x₁ ,y₁) و (x₂,y₂) في مستوي ثنائي الابعاد هي :
d =√ (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
ولإيجاد المسافة بين نقطتين في المستوى ثلاثي الأبعاد 3D ، يمكننا تطبيق صيغة المسافة ثلاثية الأبعاد
d =√ (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁ )²
حيث أن احداثيات النقطتين هي ( x₁ ,y₁,z₁ ) و (x₂,y₂,z₂) .
مثال 1 : أوجد المسافة بين النقطتين (6- ,2) و (3 ,7) .
الحل :- لنفترض أن النقاط المعطاة هي
(6- ,2) = ( x₁ ,y₁)
(3 ,7) = ( x₂ ,y₂)
صيغة إيجاد المسافة بين نقطتين هي
d =√ (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d = √ (7 - 2)² + (3 - (-6))²
d = √ (5)² + (9)²
d = √ 25 + 81
d = √ 106
مثال 2 :- لتكن النقاط (1- , 2)، (1 , 0) و (3 , 2) هي رؤوس مثلث قائم الزواية .
الحل :- لنفترض أن النقاط المعطاة هي
(1- , 2) =A
(1 , 0) =B
(3 , 2) =C
الان سنجد المسافة بين كل نقطتين بإستخدام صيغة المسافة
AB =√(0-2)² + (1-(-1))² BC =√(2-0)² + (3-1)² CA =√(2-2)² + (3-(-1))²
=√(-2)² + (2)² =√(2)² + (2)² =√ 0² + 4²
=√4 + 4 =√ 4+4 =√ 16
=√ 8 =√8 = 4
الان بعد أن عرفنا أطوال الأضلاع الثلاثة
AB² + BC² = CA²
(√8)² + (√8)² = 4²
8 + 8 = 16
16 = 16
وهكذا فإن A,B,C تفي بنظرية فيثاغورس
لذا فإن ΔABC هو مثلث قائم الزاوية
مثال 3: أوجد نقطة على المحور y، تكون على مسافة متساوية من النقاط (2 ,1-)، (3 ,2).
الحل :- نعلم أنّ إحداثي x لأي نقطة على المحور y يساوي 0
ومن ثم نفترض أن النقطة التي تقع على مسافةمتساوية من النقاط المعينة
(0,k)
أي أنّ
distance between (-1,2) and (0,k) = distance between (2,3) and (0,k)
√(-1 - 0)² + (2 - k)² = √ (2 - 0)² +(3 - k)²
بتربيع الطرفين
(2 - 0)² + (3 - k)² = (-1 - 0)² + (2 - k)²
4 + 9 + k² - 6k = 1 + 4 + k² - 4k
8 = 2k
k = 4
لذلك، فإنّ النقطة المطلوبة هي (4 ,0).
- المسافة من نقطة إلى مستقيم في مستوي ثنائي الأبعاد Distance from a point to a line in 2D
لحساب المسافة من نقطة إلى خط هي طول مقطع الخط العمودي المرسوم من النقطةإلى الخط المستقيم. ليكن L هو الخط المستقيم في المستوي ثنائي الأبعاد ، مع المعادلة ax+by+c=0 وليكن النقطة Q(x₁,y₁) ، لذا فإن المسافة D من النقطة Q الى الخط L هي :
D = |ax₁ +by₁ +c|
√ a² + b²
- المسافة بين خطين متوازيين في مستوي ثنائي الأبعاد Distance between two parallel lines in 2D
لنفترض أن المستقيمين المتوازيين هما
L₁: ax + by + c₁ = 0 , L₂ : ax + by + c₂ = 0
وبما أننا نعلم أن ميل المستقيمين المتوازيين دائماً متساويان، لذا فإن المسافة d بين المستقيمين ₁LوL₂
هي :
d =| c₂ - c₁ |
√a² + b²
- المسافة من نقطة إلى مستوى Distance from a point to a plane
إنّ صيغة المسافة من نقطة الى مستوى تشبه صيغة المسافة من نقطة إلى خط مستقيم.
فلنفترض أنّ المسافة D هي المسافة من النقطة ( x₁ , y₁ , z₁ ) إلى المستوى ax + by+ cz+ d =0 , فإن الصيغة هي :
D = |ax₁+ by₁ + cz₁ + d|
√a² + b²+ c²
- المسافة بين مستويين متوازيين Distance between two parallel planes
لإيجاد صيغة المسافة بين مستويين متوازيين، نفترض أنّ لدينا معادلات المستويين المتوازيين وهي
0=ax+by+cz+d₂= 0 , ax+by+cz+d₁ ، لذا فإن الصيغةتكون كما يلي :
d = | d₂ - d₁ |
√a² + b² +c²
صيغة نقطة المنتصف Midpoint formula
من الأشياء المفيدة التي يمكن العثور عليها في المستوى الديكارتي العثور على النقطة في منتصف المسافة بين نقطتين آخريين. وهذا ما يسمى بنقطة المنتصف (midpoint) . نظراً لأن نقطة الوسط تقع في منتصف المسافة بين النقطتين،
صيغة نقطة المنتصف بين نقطتين ( x₁ ,y₁) و (x₂,y₂) هي
midpoint = ( x₁ + x₂ , y₁ + y₂)
2 2
صيغة الميل Slope formula
ميل الخط هو القيمة التي تصف إنحدار أو ميل الخط وإتجاهه، في تنسيق متغير. ويتم تمثيله بشكل عام بالحرف m . يمكن حساب الميل من الزاوية التي يصنعها الخط ذو المحور x الموجب ، أو بأخذ أي نقطتين على الخط.
ميل الخط المائل بزاوية θ مع المحور x الموجب هو
m = tanθ
ميل الخط الذي يصل بين النقطتين ( x₁ ,y₁) و (x₂,y₂) يساوي
m = (y₂ - y₁)
(x₂ - x₁)
صيغة الميل هي التغير العمودي في y مقسوماً على التغير الافقي في x، والذي يُسمى أحياناً الأرتفاع على المدى (rise over run) تستخدم صيغة الميل نقطتين ( x₁ ,y₁) و (x₂,y₂) لحساب التغير في y على التغير في x.
الميل هو نسبة تتضمن كيفيةتغير y لكل وحدة زيادة في x
change in y = rise = (y₂ - y₁) = m
change in x run (x₂ - x₁)
إتجاه الخطوط المستقيمة مهم عندما يتعلق الأمر بتحديد الميل، إذا كنت تتحرك لأعلى أو لأسفل أو لليسار أو لليمين عند تحديد النقاط، أي أنّ إذا صعدت لتصل إلى النقطة الثانيه فإن الارتفاع يكون إيجابياً، وإذا نزلت للوصول إلى النقطة الثانية يكون الارتفاع سالباً. وإذا إتجهت لليمين للوصول إلى النقطة الثانيه فإن المدى يكون إيجابياً، وإذا إتجهت لليسار للوصول الى النقطة الثانية فسيكون المدى سالباً.
إذن فإنّ الميل يُشير إلى إتجاه الخط المستقيم. الخط المستقيم ذو الميل الموجب يُقال إنه يتزايد، يمتد لأعلى من اليسار إلى اليمين، بينما الخط المستقيم ذو الميل السالب، يُقال إنه متناقص، يمتد لأسفل من اليسار إلى اليمين.
هناك نوعان آخران من الخطوط المستقيمة وهي أما خطوط افقية أو خطوط عامودية(رأسيه) ، بالنسبة للخط الأفقي فبغض النظر عن النقطتين اللتين تختارهما على السطر، سيكون لهما نفس الاحداثي y دائماً. فعند تطبيق صيغة الميل سيكون البسط دائماً صفر مقسوماً على أي رقم غير صفري يساوي صفر.
لذا فإن ميل الخط الافقي يكون دائماً صفراً لأن y لايتغير .
بالنسبة للخط العمودي (الرأسي)، وبغض النظر عن النقطتين اللتين تختارهما على السطر، سيكون لهما نفس الاحداثي x دائماً. فعند تطبيق صيغة الميل سيكون المقام دائماً صفر ،لكن القسمة على الصفرليس لها معنى بالنسبة لمجموعة الأعداد الحقيقة، لذا فإن ميل الخط العمودي غير محدد.
الخط العمودي له ميل غير محدد لانه لايمكنك القسمة على صفر
اما المستقيمات المتوازية هي مستقيمان أو أكثر في مستوى لايتقاطعان أبداً. ويكون لهما نفس الميل، كما وانّ تقاطعات y (الجزء المقطوع من المحور y) مختلفة (y-intercepts).
إذن المستقيمات المتوازية فلها نفس الميل.
المستقيمات المتعامدة عبارة عن مستقيمين أو أكثر يتقاطعان بزاوية 90 درجة. ويكون ميل أحدهما هو سالب مقلوب ميل الأخر، على سبيل المثال إذا كان ميل المعادلة الاولى هو 5 فيجب أن يكون ميل المعادلة الثانية هي -1/5 لكي تكون الخطوط المستقيم و متعامدة.
صيغة تقاطع الميل Slope-intercept formula
يشكّل تقاطع الميل أحد الاشكال المختلفة للمعادلة الخطية. انه احد الاشكال الاكثر استخداما وله الصيغة التالية: y=mx+b في هذه المعادلة m هو الميل و b هو الجزء المقطوع من المحور y.
إن صيغة تقاطع الميل مفيدة لانها تتيح لنا تحديد ميل الخط وتقاطع y بسرعة، مما يتيح لنا بدوره رسم الخط البياني بسهولة الى حد ما.
بوجود نقطة وميل خط يمكنك كتابة معادلة خطية بصيغة تقاطع الميل slope-intercept form
مثال: اكتب معادلة الخط المستقيم الذي ميله1/2 وتقاطعه مع المحور y =-5
الحل :-
الميل m = 1/2 ، وأنّ b = -5 تقاطع مع محور y
نعّوض بالميل m وb تقاطع y في المعادلة y = mx+b
y = 1/2x - 5
∴ معادلة الخط المستقيم هي y = 1/2x - 5
مثال : اكتب معادلة الخط المستقيم في الرسم البياني بتحديد الميل وتقاطع y
حدد النقطة التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع المحور y
النقطة هي (0,3) ، هذا يعني أن تقاطع y هو 3
حدد نقطة أخرى وارسم مثلث ميل لإيجاد الميل.
الميل= 2/3-
نعوّض بالميل وقيمة y للتقاطع في معادلة تقاطع الميل.
y = mx + b
y = -2/3x + b
y = -2/3x + 3
معادلة الخط المستقيم هي y = -2/3x + 3
مثال : اكتب المعادلة التالية 2x+4y=6 بصيغة الميل والمقطع.
الحل :-
علينا إيجاد قيمة y، وعليه يجب التخلص من الحد 2x في الطرف الأيسر وذلك بإضافة 2x- لكلا الطرفين فتصبح المعادلة كالتالي
4y = -2x + 6
وبقسمة كلا الطرفين على 4 تصبح
6/4 + y = -2/4x
y = -1/2x + 3/2
الجواب هو y = -1/2x + 3/2
مثال : ارسم المعادلة 4 - y = 1/2x باستخدام معادلة تقاطع الميل.
الحل:
أولاً ، ارسم تقاطع y.
الآن استخدم الميل للعد لأعلى أو لأسفل ثم على اليسار أو اليمين حتى النقطة التالية.
الميل = 1/2
لذا يمكن عد واحد واثنين لليمين — كلاهما موجب لأن كلا جزأي الميل موجبان.
الخلاصة :
يتمثل أصعب جزء في العمل بالنقاط والميل والخطوط في تحديد الصيغة التي يجب استخدامها عند حل مشكلات معينة. لذا من المفيد مراعاة النقاط التالية :-
1- ماهو المطلوب إيجاده.
2- ماهي المعطيات المذكورة في المسألة.
3- ماهي الطريقة التي سأستخدمها لحل المسألة.
إليك الطرق المناسبة لإستخدامها لحل أنواع معينة من المسائل.
- لإيجاد ميل خط مستقيم slope of a line ، المعطى إحداثيات نقطتين على الخط، طريقة الحل : إستخدم صيغة الميل m = y₂- y₁ / x₂- x₁
- لإيجاد الميل وتقاطع y لخط مستقيم slope & y-intercept of a line المعطى معادلة خط في الشكل القياسي ، طريقة الحل : إستخدم المعادلة بصيغة الميل والمقطع y = mx+b.
- لإيجاد معادلة خط equation of a line، المعطى ميل الخط ونقطة على ذلك الخط، طريقة الحل : إستخدم صيغة نقطة الميل y-y₁ = m(x-x₁) .
- لإيجاد معادلة خط equation of a line ، المعطى ميل وتقاطع y لخط y-intercept of a line ، طريقة الحل : إستخدم صيغة تقاطع الميل .
- لإيجاد معادلة خط equation of a line ، المعطى إحداثيات نقطتين على الخط ، طريقة الحل : إستخدم أولاً صيغة الميل لإيجاد ميل الخط ، ثم إستخدم الميل و أحد النقاط في صيغة النقطة والميل.
- لإيجاد معادلة خط مستقيم موازٍ لمستقيم معين ، المعطى معادلة المستقيم الموازي المحدد ونقطة على الخط المستقيم ، طريقة الحل : اكتب معادلة الخط المعطى بصيغة الميل والمقطع لتحديد ميله ، ثم استخدم نفس الميل ونقطة في صيغة الميل والنقطة.
- لإيجاد معادلة خط عمودي على خط معين ، المعطى معادلة الخط العمودي المحدد ونقطة على الخط ، طريقة الحل : اكتب معادلة الخط المعطى بصيغة الميل والمقطع لتحديد ميله ، ثم استخدم مقلوبًا معاكسًا لذلك الميل ونقطة في صيغة النقطة والميل.
تعليقات
إرسال تعليق