الرسم البياني للدوال Graph of a Function

 الرسم البياني للدوال 

قبل البدء بالحديث عن الرسم البياني للدوال الرياضية ، دعنا نستذكر تعريف الدالة اولاً 

الدالة هي الجزء الأساسي في حساب التفاضل والتكامل في الرياضيات، وهي نوع خاص من العلاقات.

يمكن تصور الدالة كقاعدة تتعلق بكيفية إعتماد كميةٍ ما على كميات اُخرى ففي العالم الحقيقي، من الشائع جداً أن تعتمد كميةٍ واحدة على كمية أخرى. على سبيل المثال ؛

نمو النباتات يعتمد على ضوء الشمس وهطول الامطار ،

مساحة الدائرة تعتمد على نصف قطرها،

حجم الكرة تعتمد على نصف قطرها،

كمية الخرسانه التي تحتاجها عند تشييد مبنى يعتمد على إرتفاع المبنى،

راتب عامل في مطعم الوجبات السريعة يعتمد على عدد ساعات عمله. وغيرها من الأمثلة الكثيرة.

في الدالة توجد كميتان (تسمى المتغيرات) حيث توجد علاقة بينهما . إذا وجدنا أنه لكل قيمة للمتغير الأول هناك قيمة واحدة فقط للمتغير الثاني ، فنقول أنَ المتغير الثاني هو دالة للمتغير الأول.
المتغير الأول هو المتغير المستقل Independent Variable ويرمز له عادةً بx.
المتغير الثاني هو المتغير التابع Dependent Variable ويرمز له عادةً ب y، إنَ كلا المتغيرات المستقل والتابع هما رقمان حقيقيان Real numbers. 

لذا فإن الدالة هي تعبير أو قاعدة أو قانون يحدد العلاقة بين متغير واحد (المتغير المستقل) ومتغير أخر (المتغير التابع) .

كما يمكن تعريفها بأنها عملية أو علاقة تربط كل عنصر a من مجموعة غير فارغه A ، على الأقل بعنصر واحد b من مجموعة اخرى غير فارغه B. 

مثلا : في المعادلة y = 2x+ 3 
y هي دالة لx ، لأن لكل قيمة لx هناك قيمة واحده فقط لy.
فإذا فرضنا أنَ x = 5 ، سنحصل على y = 13 ، ولا قيمة اخرى.

تعتمد قيَم y التي نحصل عليها على القيَم المختارة لx ، لذا فإن x هو المتغير المستقل و y هو المتغير التابع . بصورة عامة تُكتب الدوال على النحو التالي f(x) وتُقرأ دالة f ل x .

- تصنف الدوال في الرياضيات إلى عدة أنواع بناءاً على مجموعة العناصر ، المعادلة، المجال ،وعلى المدى.

حيث يساعد تصنيف الدوال في فهم وتعلم أنواع الدوال المختلفة بسهولة . والتي لاحقاً سأتحدث عنها بالتفصيل .

يمكن تمثيل الدالة بعدة طرق ، مثل الجداول أو الصيغة أو الرسم البياني.

الرسم البياني للدالة Function Graph

إنَ الرسم البياني للدالة هو تمثيل مرئي لسلوك الدالة على المستوي xy ، يُعَد الرسم البياني للدالة مفيداً إذا كنا نحاول صياغة مشكلة في العالم الحقيقي، حيث تساعدنا الرسوم البيانيه في فهم الجوانب المختلفة للدالة، والتي يصعب فهمها بمجرد النظر إلى الدالة نفسها.

إذن أفضل طريقة لتمثيل الدالة هي برسمها بيانياً ، و يمكن تحديد الرسوم البيانيه للدوال الأساسية من خلال رسم النقاط. بإختيار بعض قيم x ثم تعويضها في الدالة لإيجاد قيمة y، وكلما زاد عدد النقاط التي ترسمها كانت الصورة أفضل.

الطريقة الأكثر شيوعاً لرسم دالة هي إستخدام نظام الإحداثيات والمتكون من المحور السيني x-axis والمحور الصادي y-axis ونقطة الأصل (0,0) والأرباع الأربعة وهي { الربع الاول Ⅰ ، الربع الثاني Ⅱ ،الربع الثالث Ⅲ ، والربع الرابع Ⅳ }.

إنّ الرسم البياني للدالة هو مجموعة من جميع النقاط التي إحداثياتها (x,y) تحقق الدالة y=f(x). هذا يعني أنه لكل قيمة x هناك قيمة y مقابلة، يتم الحصول عليها عندما نعوّض عن f(x). 

عادةً يتم وضع قِيَم المتغير المستقل (x) على المحور الافقي، بينما يتم وضع قِيَم المتغير التابع (y) على المحور الرأسي.

إنّ قيمة x والتي تسمى الاحداثيات السينيه abscissa ، هي المسافة الأفقية للنقطة p من المحور y

وإنّ قيمة y والتي تسمى الاحداثي الصادي ordinate ، هي المسافة العمودية للنقطة p من المحور x. 

وإنّ قِيَم x و y معاً تكتب على شكل الزوج المرتب (x,y) بإحداثيات النقطة p .

- ملاحظه: توجد أنظمة اخرى حيث لايكون المقياس متساوياً كما هو الحال في نظام الاحداثيات وهي محاور اللوغاريتمية وشبه اللوغاريتمية وبعضها دائري (الاحداثيات القطبيه). 

مثال 1: حدد موقع النقاط التالية A(3,5) ، B(-2,-1) على نظام الاحداثيات. 

مثال 2: لتكن A(-3,-2)، B(4,-2)، C(4,1 ) رؤوس للمستطيل ، أوجد الرأس الرابع D.

الحل 

إرسم أولاً الرؤوس الثلاثة ABC على نظام الاحداثيات 

نظراً لإن الاضلاع المقابلة في المستطيل متساوية ومتوازية لذا فإن الاحداثي y للنقطة D يجب أن يكون 1، والاحداثيx للنقطة D يجب أن يكون 3-. 

لذا نستنتج إن احداثيات النقطة D هي (3,1-).

مثال 3 : في أي ربع من أرباع نظام الاحداثيات تقع النقاط (x,y) حيث أن x < 0 و y < 0 ؟ 

الحل 

لدينا x<0 هذا يعني أن x سالبه 

    و y<0 هذا يعني أن y سالبه

لذا فإن المنطقة الوحيدة التي يكون فيها كلا إحداثيات جميع النقاط سالبه هي الربع الثالث Ⅲ .

ملاحظة :- إن المحاور السالبة ل x و y  ،  محاور متقطعه للإشارة إلى أنها غير مضمنه في المنطقة.

مثال 4 : حدد موقع النقاط التي تتساوى فيها إحداثيات السيني والصادي. 

الحل 

السؤال يعني أين يوجد نظام الاحداثيات x=y لجميع نقاط (x,y) ؟

نريد خط مستقيم يربط النقاط (1,1) و (0,0) و (2-, 2-) و (6,6).

الخط المطلوب يقطع الربع الأول والربع الثالث إلى النصف عند °45 ، يمكن كتابة المستقيم x=y .

مثال 5 : حدد موقع النقاط (x,y) حيث x = 0 و y < 0  ؟ 

الحل 

النقاط تقع على الجزء السالب من المحور y ، المشار اليه باللون الاخضر

الأنواع المختلفة من الدوال  

يوجد أنواع مختلفة من الدوال وهي : الدالة المحايدة أو المتطابقة Identity Function ، الدالة الثابتة Constant Function ، الدالة الخطية Linear Function ،الدالة التربيعية Quadratic Function ، الدالة التكعيبية Cubic Function ، دالة الجذر التربيعي Square Function ، الدالة النسبية Rational Function وما الى ذلك..

ويتم رسم الدوال عن طريق وضع المتغير المستقل على المحور السيني والمتغير التابع على المحور الصادي ورسم النقاط ذات الاحداثيات (x,y) في المستوى الديكارتي.

جميع النقاط على الرسم البياني تحقق المعادلة y = f(x) .

يعد رسم الدوال الأساسية مثل الدوال الخطية والدوال التربيعية أمراً سهلاً، الفكرة الأساسية لدوال الرسوم البيانية هي تحديد الشكل، فمثلاً اذا كانت دالة خطية Linear بالصيغة f(x)=ax+b فسيكون رسمها البياني خطاً مستقيماً. وإذا كانت دالة تربيعية بالصيغة f(x) =ax²+bx+c فإنها ستكون قطع مكافئ.

إن إيجاد بعض النقاط عليها يكون عن طريق القيم العشوائية لx وإيجاد القيم المقابلة لy بالتعويض عن كل قيمة x في الدالة.

- الدالة الثابتة The constant function 

إن أي دالة على الشكل f(x)=c ، حيث c هي أي عدد حقيقي (real number) ، تسمى دالة ثابتة.

الدالة الثابتة هي دالة خطية Linear function ، ويمكن كتابتها بالصورة f(x)=0x+c، حيث واضح أن ميل الدالة الثابتة = صفر، وتقاطع y هو (cا,0).

الرسم البياني للدالة الثابتة هو خط افقي، حيث أن المجال the domain يتكون من جميع الاعداد الحقيقية ℝ ويتكون المدى the range من القيمة المفردة {c}.

 f(x)= c
The constant function

- الدالة المحايدة The identity function 

الدالة التي على الشكل f(x)=x تسمى الدالة المحايدة أو المتطابقة.

إن الدالة المحايدة هي دالة خطية Linear function، ويمكن كتابتها بالصورة f(x)=1x+0، حيث أن ميل الدالة المحايدة =1 وتقاطع y هو (0،0).

إن كلاً من مجال ومدى الدالة المحايدة هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ℝ  .

f(x)= x 
The identity function

- الدالة الخطية The linear function 

هي دالة جبرية تُشكل خطاً مستقيماً في مستوى الإحداثيات. بشكل عام إنها دالة متعددة الحدود بدرجة 1 أو 0. يمكن كتابة الدالة الخطية ك y= f(x)= mx+b ،حيث m و b أرقاماً حقيقية (real numbers)، m يمثل ميل المستقيم (the slope) ويمثل b تقاطع الخط المستقيم على المحور yا(y-intercept)، و x هو المتغير المستقل (independent variable) ، y أو f(x) هو المتغير التابع (dependent variable). 

فلإيجاد الدالة الخطية تستخدم صيغة الميل والمقطع the slope-intercept أو صيغة الميل والنقطة the point-slope.

- يمكننا تمثيل الدالة الخطية بالتعبير التالي  y= f(x)= mx+b وهي صيغة الميل والمقطع،

- كما يمكن تمثيل الدالة الخطية في الشكل              

                                                                               وهي صيغة الميل والنقطة (y-y₁) =هm(x-x₁)

- في حين أن الصيغة العامة تكتب بالصيغة Ax+By=C.

إن عملية إيجاد الدالة الخطية هي نفس عملية إيجاد معادلة الخط المستقيم. فمثلاً لو كان لدينا النقطتان(1,15-) (2,27) ،المطلوب إيجاد الدالة الخطية.

الحل: النقطتان المعطاة هي 

                                                                                         (x₂,y₂)=(2,27) و (x₁,y₁)=(-1,15)

ميل الدالة هو m = (y₂-y₁) / (x₂-x₁)

                  (m = (27-15) / (2-(-1)

                                       m = 12/3

                                            m = 4

الان يمكننا إيجاد معادلة الدالة الخطية بإستخدام صيغة نقطة الميل .

 y - y₁= m (x - x₁)

 y - 15= m (x-(-1))

 y - 15= 4 (x+1)

 y - 15= 4x+4

 y = 4x+19

إذن معادلة الدالة الخطية هي f(x)= 4x+19

الرسم البياني للدالة الخطية طريقتان :

1- من خلال إيجاد نقطتين عليه،(x₁,y₁)و(x₂,y₂) واللتين تحققان المعادلة f(x)= mx+b ثم إرسم هذه النقاط في المحاورX-Y ثم كوّن خطاً مستقيماً لربط النقطتين في المستوى وتمديده على كلا الجانبين. ولإيجاد أي نقطتين على دالة خطية f(x)=mx+b ، نفترض بعض القيم العشوائية لx ونعوض هذه القيم في الدالة لإيجاد القيم المقابلة لy.

علاوةً على ذلك ، فإن صيغة ميل الدالة الخطية m=y₂-y₁/x₂- x₁

بمجرد أن نحصل على الميل ، يمكننا إستخدام إحدى النقاط المعروفة وصيغة الميل والمقطع لإيجاد قيمة b.

مثال: إرسم الدالة f(x)=3x+5 

1) سنفرض بعض القيم العشوائية ل x ولتكن x=0 ، x=-1

2) نعوض هذه القيم في الدالة لإيجاد قيم y المقابلة وهي y=-5 ، y=2 

3) نرسم النقاط (0،5) ، (1،2-).

2- رسم دالة خطية f(x)= mx+b ، يمكننا إستخدام ميلها m وتقاطعyا(b).

 سنقوم بإستخدام نفس الدالة الخطية في المثال أعلاه f(x)= 3x+5 

الميل m =3 ، والتقاطع yا(0,5)=t(0,b)

1) إرسم تقاطع yا(bا,0).

2) اكتب الميل بصيغة الكسر ، الميل = الارتفاع / المدى ، هنا الميل =3 = 3ا/1

3) من نقطة تقاطع y نرتفع ثلاث وحدات ثم نتجه أفقياً وحده واحدةينتج من هذا نقطة جديدة (3,1).

ملاحظات: 

- يمكن أن يكون إتجاه الدالة الخطية متزايداً أو متناقصاً أو أفقياً أو رأسيا(عامودياً).

- الدالة الخطية المتناقصة لها ميل سالب . لذا إذا كانت m<0 , فإن f(x)=mx+b تتناقص.

- الدالة الخطية المتزايدة لها ميل موجب . لذلك إذا كانت m>0 ، فإن f(x)=mx+b تتزايد.

- عندما تكون m=0 . فإن الدالة الخطية f(x)=mx+b هي خط اُفقي ويشار إليها على إنها دالة ثابتة.

- إن كلاً من مجال ومدى الدالة الخطية هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ℝ  .

الرسوم البيانية التالية هي تمثيلات للدالة الخطية

 

مثال: - إرسم الدالة الخطية f(x) = -x + 2

الحل:

قم بإنشاء جدول قيم، وذلك بأخذ بعض القيم العشوائية لx ولتكن x = 0 و x = 1 ثم عوّض بهذه القيم في f(x) أو y لحساب قيم y .

وبالتالي سيكون لدينا نقطتين على الخط هما (0,2) و (1,1)

- الدالة التربيعية The quadratic function

الدالة التي على الشكل f(x) = x² تسمى الدالة التربيعية ،هي الدالة التي تم الحصول عليها عن طريق تربيع القيم في المجال، ستكون نتيجة تربيع القيم غير الصفرية في المجال موجبة دائماً.

الدالة التربيعية هي دالة غير خطية nonlinear function ، الرسم البياني للدالة التربيعية هو منحنى يشبه حرف U وهذا يسمى القطع المكافئ parabola. يتقاطع محور التناظر the axis of symmetry مع الرأس(the vertex) ويقسم القطع المكافئ إلى نصفين ، نصف القطع المكافئ هو صورة معكوسة للنصف الاخر. الرأس the vertex هو أدنى (أعلى) نقطة على الرسم البياني للدالة التربيعية.

الخط الذي ينزل إلى المنتصف يسمى خط الانعكاس the line of reflection.

- للحصول على منحني مثالي على شكل حرف U، نحتاج إلى إيجاد نقطة الرأس، بعدها يمكن إيجاد نقطتين أو ثلاث نقاط عشوائية على كل جانب من جوانب الرأس vertex التي تساعد في رسم الدالة بيانياً.

دالة تربيعية
توضح نقطة الرأس ومحور التناظر

                                                                                    

معادلات الدوال التربيعية لها الشكل القياسي f(x)= ax²+bx+c حيث a,b,c أعداداً حقيقية و a≠0 .

يؤدي تغيير a الى تغيير عُرض القطع المكافئ.

- فعندما يكون (a>1) ، شكل القطع يكون أضيق من الدالة الاصلية.مثال : f(x)=3x²

- عندما يكون (a<1) ، فإن شكل القطع يكون أوسع من الدالة الأصلية.مثال : f(x)=0.5x²

- عندما يكون(a<0) ، فإن إتجاه القطع يكون للأسفل (⋂).

فيما يلي بعض الرسوم البيانية بقيم مختلفة ل a ، لاحظ كيف تُغير كل قيمة شكل وموقع القطع المكافئ.

دالة القطع المكافئ  f(x) = x²
 يوضح تغير عُرض القطع المكافئ عند تغير قيمة a
عندما يكون (a>1) و (a<1) 

دالة القطع المكافئ 

 يوضح تغير شكل القطع المكافئ ما إذا كان يفتح للأعلى أو للأسفل

                    حسب قيمة  (a>0) أو (a>0)

إذا لم يكن هناك حد b ، فإن تغيير c يُحرك القطع المكافى لأعلى أو لأسفل بحيث يكون تقاطع y هو (cا,0). 

دالة القطع مكافئ 2+f(x) = x²

دالة قطع مكافئ 2 - f(x) = x²

تغيير b يحرك خط الإنعكاس the line of reflection ،وتعتمد الطريقة التي تتحرك بها أيضاً على a.

دالة القطع مكافئ f(x) = x²+2x

دالة القطع المكافئ f(x) = x²-2x

دالة القطع المكافئ f(x)= -x²+2x

دالة القطع المكافئ f(x)= -x²-2x

لإيجاد رأس القطع المكافئ the vertex of the parabola إستخدم الصيغة التالية:

 (b/2a, f(-b/2a)-)

- يتكون المجال the domain من جميع الأعداد الحقيقية ℝ ، ويتكون المدى the range من جميع قيم y أكبر من أو تساوي الصفر [0،∞).

مثال :- إرسم الدالة التربيعية التالية  f(x) = x² - 2x + 5

الحل :- 

بمقارنتها بالصيغه القياسية للمعادلة التربيعية فأن a = 1 ، b = -2 ، c = 5

الاحداثي السيني (إحداثي x) للرأس (vertex) هو 

h = -b /2a 

(1)2 / (h = - (-2 

h = 1

الاحداثي الصادي (إحداثي y) للرأس  vertex هو 4 

                                                                                                            f(1) = 1² - 2(1)+ 5 = 4 

نقطة الرأس هي (1,4)

الأن يمكن عمل جدول ، وفرض قِيَم عشوائية ل x ثم تعويضها بالدالة لحساب إحداثي y كما موضّح أدناه

الآن سوف نرسم النقاط 

(8,-1) ، (5 ,0) ، (5 ,1) ، (4 ,1) ، (5 ,2) ، (8 ,3) ثم نقوم بربطهم وبتمديد المنحني على كلا الجانبين.

- الدالة التكعيبية The cubing function

الدالة التكعيبية هي دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة، ويمكن حل الدالة التكعيبية تقليدياً عن طريق إختزالها إلى معادلة تربيعية ثم حلها إما عن طريق التحليل أو الصيغة التربيعية. وكما أن للمعادلة التربيعية جذران، فالمعادلة التكعيبية لها ثلاثة جذور. لذا فإن التمثيل البياني للدالة له ثلاثة جذور كحد أقصى . (بمعنى أخر) أنه قد يتقاطع مع المحور السيني بحد أقصى ثلاث نقاط.

قد تحتوي الدالة التكعيبية على ثلاثة جذور حقيقية أو جذر حقيقي واحد وجذران وهميان(جذور معقدة).

الصيغة العامة للدالة التكعيبية هي f(x) = ax³+bx²+cx+d ، حيث أن a,b,c,d هي أعداد حقيقية وأن a≠0 . الدالة التكعيبية الاساسية تكون على الشكل f(x) = x³ .

نظراً لأن الدالة التكعيبية هي دالة كثيرة الحدود، يتم تعريفها لجميع القيم الحقيقيةلx بالتالي يكون كل من المجال والمدى هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ℝ.

الرسم البياني للدالة التكعيبية

عند رسم دالة تكعيبية، من الضروري تحديد السمات والسلوكيات الرئيسية للدالة، وتكون بالخطوات التالية :-

خطوة 1:- إيجاد تقاطعات x و تقاطع yه. (x-intercepts) و (y-intercept). 

تقاطعات x المعروفة أيضاً بإسم جذور الدالة (roots) ، ويمكن تحديد تقاطعات x من خلال إيجاد الحلول ل f(x)=0، أما تقاطع y هو قيمة الدالة عندما تكون x=0 .

خطوة 2 :- إيجاد النقاط الحرجة للدالة التكعيبية  critical points of cubic function .

النقاط العظمى والصغرى المحلية (local maximun and local minimum) والمعروفة أيضاً بالنقاط الثابتة، هي النقاط التي تتغير فيها الدالة من "زيادة إلى تناقص" أو من"تناقص إلى زيادة" وللحصول على هذه النقاط، تحتاج إلى الحصول على المشتق f՝(x) وإيجاد قيمة f՝(x)=0.

تنتج معادلة من الدرجة الثانية ويمكن حلها بإستخدام تقنيات حل المعادلات التربيعية بواسطة الصيغة التربيعية وهي x = (-b ± √ b² - 4ac)/ 2a  

خطوة 3 :- نقطة الانعطاف the inflection point

هذه هي النقطة التي يغير فيها تقعر المنحني إتجاهه، إما من (مقعّر لأعلى إلى مقعر لأسفل) أو (مقعّر لأسفل إلى مقعّر لأعلى)، لإيجاد نقاط الانعطاف للدالة التكعيبية f(x) = ax³+bx²+cx+d ، نضع المشتقة الثانية للدالة =0 ونحلها، بمعنى f՝՝(x)=0..

وبالتالي فإن الدالة التكعيبية  f(x) = ax³+bx²+cx+d لها نقطة إنعطاف عند 

(-b/3a, f(-b/3a))

دالة تكعيبية لها ثلاثة جذور (x-intercepts)
ونقطتين حرجتين

مثال : إرسم الدالة التكعيبية f(x)=x³-4x²+x-4

1) أوجد تقاطع x 

x³ - 4x² + x - 4 = 0

x² (x-4)+(x-4) = 0

(x-4) (x²+1) = 0

x - 4 = 0   ⇒ x = 4

x² +1 = 0  ⇒ x ∉ ℝ 

لايمكن أن تكون الأعداد المركبة (العقدية) هي تقاطعات x لذلك تحتوي f(x) على تقاطع x واحد فقط وهو (4,0).

- أوجد تقاطع y

تقاطع y هو قيمة الدالة عند x=0

تقاطع yه (4-,0)

2) أوجد النقاط الحرجة 

إيجاد النقاط الحرجة عن طريق المشتقة الاولى ومساواتها للصفر ثم حلها

f՝(x) = 3x² - 8x +1

وبإستخدام الصيغة التربيعية  x = (-b ± √ b² - 4ac) / 2a

x≈ 0.131 و x ≈ 2.535

و لإيجاد إحداثي y المقابل للنقاط الحرجة يكون بالتعويض عن كل منها أي دالة معينة.

f(0.131) ≈ -3.93

f(2.53) ≈ -10.87

لذلك، فإن النقاط الحرجة هي 

                                                                                                                         (0.131, -3.93)

                                                                                                                         (2.53, -10.87)

الدالة التكعيبية 

f(x)=x³-4x²+x-4 ، موضحة نقطة تقاطع x، ونقطة تقاطعy

والنقطة الحرجة (محلية صغرى)

ملاحظات :

- قد يكون للدالة التكعيبية 1 أو 3 جذور حقيقية .

- قد يكون للدالة التكعيبية 0 أو 2 جذور معقدة .

- الدالة التكعيبية هي في الحد الأعلى أو الأدنى عند النقاط الحرجة.

الخصائص التي تشترك فيها الدوال التكعيبية مع الدوال الخطية والتربيعية

1) المجال the domain هو مجموعة جميع العداد الحقيقية.

2) المدى the range هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.

3) نظراً لكون كلاً من المجال والمدى يمتدان على مجموعة الأعداد الحقيقية، لذا لا توجد خطوط مقاربة رأسية و أفقية.

4) الحد الأقصى لعدد الجذور (حلول f(x)=0) هو نفس درجة الدالة . فالدالة الخطية لها جذر واحد، والدالة التربيعية لها جذران كحد أقصى، ودوال الدرجة الثالثة الدوال التكعيبية لها ثلاثة جذور كحد أقصى.

بعض الميزات التي تميز الدوال التكعيبية عن الدوال الخطية والتربيعية

1) يحتوي الرسم البياني للدالة التكعيبية على جذور حقيقية واحدة أو ثلاثة جذور (تقاطعx) .

2) قد يحتوي الرسم البياني للدالة التكعيبية على نقطتين حرجتين، قيمة عظمى محلية، وقيمة صغرى محلية.

3) يحتوي الرسم البياني للدالة التكعيبية على نقطة إنعطاف واحدة single inflection point.