الدالة الكسرية هي دالة يمكن التعبير عنها في صورة حاصل قسمة كثيرات الحدود، و عادةً ما يتم تمثيلها على أنها f(x) = p(x)/q(x) ، حيث أن p(x) و q(x) هي كثيرات الحدود، وأن 0 ≠ q(x).
الدالة الكسرية تكون بالصيغة f(x) = p(x)/q(x) = a polynomial/a polynomial ، وتسمى أيضاً بالدالة المتبادلة reciprocal function.
مثال :- (2x²-2x-3) /f(x) = (x²+x-2) دالة كسرية، حيث أن 0≠ 2x²-2x-3.
أمثلة أخرى للدوال الكسرية
(f(x) = (3x+1)/(2x+3
(g(x) = (2x²+3)/(5x+1
(R(x) = 1 / (3x+1
ملاحظة 1: إنّ كل ثابت هو كثير حدود، وبالتالي فإن بسط الدالة الكسرية يمكن أن تكون ثوابت أيضاً ، لكن لا يمكن أن تكون مقامات الدوال الكسرية عدد ثابث. مثال: f(x)=(2x+3)/4 هي ليست دالة كسرية.
ملاحظة 2: من خلال تعريف الدالة الكسرية، إذا لم يكن البسط أو المقام متعدد الحدود، فإنّ الكسر المُتَشكل لا يمثل دالة كسرية. مثال : (f(x) = 4+√x/ (2-x ،
(g(x) = (3+1/x)/(2-x ، إنّ كِلا الدالتين f(x) و g(x) ليست دوال كسرية لأن البسط في هذه الأمثلة ليس كثير الحدود.
مجال ومدى الدالة الكسرية Domain and Range of a Rational function
المجال والمدى ضروريان للدوال الكسرية .حيث لا يمكن أن يشتمل مجال الدالة الكسرية على قيمة تجعل المقام يساوي صفراً، لان ذلك يتسبب في أن تكون الدالة غير معرّفة. وهذه هي النقطة الأساسية المستخدمة في إيجاد مجال ومدى الدالة الكسرية أنه لا يتم تعريف أي كسر عندما يكون مَقامهُ يساوي صفر. لذا من المهم فهم كيفية تحديد مجال ومدى الدوال الكسرية لأنه يسمح لنا بتحديد الخطوط المقاربة وسلوك الدوال الكسرية.
مجال الدالة الكسرية Domain of the Rational function
هو مجموعة جميع قيم x التي تم تعريف الدالة من أجلها. فإذا كان هناك أي قيمة لx حيث y غير مُعّرف، فعلينا إستبعاد هذه القيمة المعينة من مجموعة المجال.
لذا فإن مجال الدالة الكسرية يشمل جميع الأعداد الحقيقية real numbers بإستثناء القيم التي تجعل المقام = صفراً.
خطوات إيجاد المجال
1) نساوي المقام بالصفر.
2) نحل المعادلة لإيجاد قيم x.
3) المجال هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية عدا القيم الموجودة في الخطوة 2.
مثال : أوجد مجال الدالة الكسرية (f(x) = (2x+1)/(3x-2
الحل :
1) نساوي المقام بالصفر 3x-2 = 0
2) نحل المعادلة فنحصل على x = 2/3
3) المجال هو مجموعة جميع الاعداد الحقيقية عدا 2/3 التي تجعل المقام =0
{x∈ℝ|x≠2/3} = المجال
مدى الدالة الكسرية Range of the Rational function
مدى الدالة الكسرية هو مجموعة جميع قيم y الناتجة.
خطوات إيجاد المدى y=f(x)
1) إذا كان لدينا f(x) في المعادلة، فإستبدلها ب y.
2) حل المعادلة لx.
3) ضع مقام المعادلة الناتجة =0 وحلها لy.
4) المدى هو مجموعة من جميع الأعداد الحقيقية عدا قيم y في الخطوة 3.
مثال : أوجد مدى الدالة الكسرية (f(x) = (2x+1)/(3x-2
الحل :
1) نستبدل f(x) ب y ، لتصبح ( y = (2x+1)/(3x-2 ثم نحلها لx.
⇒ (3x-2) y = (2x+1)
⇒ 3xy - 2y = 2x+1
⇒ 3xy - 2x = (2y+1)
⇒ x(3y-2) = (2y+1)
⇒ x = (2y+1)/(3y-2)
⇒ 3y-2 = 0
⇒ y =2/3
المدى هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية عدا 2/3 التي تجعل المقام =0
the range ={y∈ℝ|y≠2/3}
الخطوط المتقاربة للدالة الكسرية Asymptotes of Rational function
تتميز الرسوم البيانية للدوال الكسرية بخطوط متقاربة، الخطوط المتقاربة هي الخطوط التي يقترب منحني الدالة عند حواف مستوى الإحداثيات ويذهب إلى اللانهايه الموجبة أو السالبة.
الخط المتقارب هو الخط الذي يقترب منه المنحنى أكثر فأكثر ولكنه لا يتقاطع معه، يمكن أن تحتوي الدالة الكسرية على ثلاثة أنواع من الخطوط المتقاربة
1) الخطوط المتقاربة العمودية Vertical asymptotes.
2) الخطوط المتقاربة الأفقية Horizontal asymptotes.
3) الخطوط المتقاربة المائلة Slant (oblique) asymptotes.
الخط المتقارب العمودي لدالة كسرية (VA) Vertical Asymptote of a Rational function
الخط المتقارب العمودي (VA) لدالة هو خط عمودي وهمي يبدو الرسم البياني به قريباً منه ولكن لا يتلامس معه مطلقاً. قد يكون للدالة الكسرية واحد أو أكثر من الخطوط المتقاربة العمودية. إن الخط المتقارب العمودي يلعب دوراً مهماً أثناء رسم الدالة. ولإيجاد الخطوط المتقاربة العمودية لدالة كسرية:
• بَسّط الدالة أولاً ، على سبيل المثال ،حلل بسط ومقام الدالة الكسرية وإحذف جميع العوامل المشتركة (إن وجدت).
• إجعل مقام الدالة الكسرية المُبَسّطة = 0 وحل المعادلة لx .
مثال: أوجد الخطوط المتقاربة العمودية للدالة (f(x) = (x²+5x+6)/(x²+x-2
الحل
• هذه الدالة تحتاج إلى تبسيط إلى (f(x) = (x+3)/(x-1
• إجعل المقام = صفر ⇐ x-1 = 0 وبالتالي، يوجد VA للدالة الكسرية وهو x = 1
الخط المتقارب الأفقي لدالة كسرية(HA) Horizontal Asymptote of a Rational function
هو خط اُفقي وهمي، يظهر الرسم البياني لهذا الخط قريباً جداً منه ولكن لا يتلامس معه أبداً (ولكنه قد يتجاوز المنحني). يمكن أن تحتوي الدالة الكسرية على خط متقارب أُفقي واحد على الأكثر. يستخدم الخط المتقارب الأفقي لتحديد السلوك النهائي للدالة. الطريقة السهلة لإيجاد الخط المتقارب الافقي لدالة كسرية هي إستخدام درجات البسط ودرجات المقام.
• إذا كانت درجة البسط أصغر من درجة المقام فإن الدالة لها خط متقارب أفقي وهو y=0.
• إذا كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام فإن الدالة ليس لها خط متقارب اُفقي .
• إذا كانت درجة البسط مساوية لدرجة المقام فإن الدالة لها خط اُفقي واحد وهو y = نسبة المعاملين الرئيسيين للبسط والمقام.
الخط المتقارب المائل لدالة كسرية (SA) Slant Asymptote of a Rational function
الخط المتقارب المائل هو أيضاً خط مائل وهمي، يتلامس مع جزء من الرسم البياني . إنّ الدالة الكسرية لها خط متقارب مائل فقط عندما تكون درجة البسط أكبر من درجة المقام .
معادلته هي y = حاصل القسمة ( التي يتم الحصول عليها بقسمة البسط على المقام بإستخدام القسمة المطوله ).
مثال : أوجد الخط المتقارب المائل للدالة (f(x) = x²/(x+1
الحل:
هنا نلاحظ أن درجة البسط = 2 و درجة المقام =1 ، أي أن درجة البسط أكبر من درجة المقام لذا فإن الدالة لها خط متقارب مائل .
- نقسم البسط على المقام بإستخدام القسمة المطولة
x - 1 ← حاصل القسمة
x+1| x²
±x²±x
- x
∓x ∓ 1
1
وبالتالي فإن الخط المتقارب المائل هو y = x-1
تقاطعات x و yا The x and y Intercepts
تقاطع x لأي منحني هو قيمة إحداثي x للنقطة التي يقطع فيها الرسم البياني المحور السيني، هذا يعني أن قيمة الاحداثي y للمعادلة المعنية ستكون دائماً مساوية للصفر عندما تتقاطع مع المحور السيني.
وتقاطع y لأي منحني هو قيمة إحداثي y للنقطة التي يقطع فيها الرسم البياني المحور الصادي، هذا يعني أن قيمة الاحداثي x للمعادلة المعنية ستكون دائماً مساوية للصفر عندما تتقاطع مع المحور الصادي.
مثال : أوجد تقاطع x وتقاطع y للدالة الكسرية (f(x) = (x+10)/(x-5
الحل :
- لإيجاد تقاطع x ، نُعّوض ب y=0 أي أنه f(x)=0
بعد التعويض عن y أو f(x) ب صفر، نحصل على x= -10 .
لذا فإن نقطة تقاطع x ستكون (-10,0-).
- ولإيجاد تقاطع y ، نُعّوض بx=0
وبعد التعويض عن x ب صفر في المعادلة نحصل على f(x)= -2
لذا فإن نقطة تقاطع y ستكون (-2-,0)
¤ لذا عند تقاطع x يكون إحداثي y صفراً، وبالنسبة لتقاطع y يكون إحداثي x صفراً.
فجوات أو ثقوب الدالة الكسرية Holes of a Rational Function
ثقوب أو فجوات الدالة الكسرية هي نقاط يبدو أنها موجودة على الرسم البياني للدالة ولكنها في الواقع غير موجودة. إننا في الواقع نحتاج إليها كنقاط إرشادية عند رسم منحني الدالة، ولكن لإبراز أنها ليست جزءاً من حلول الدالة، فإننا نتركها كفجوات (نقاط مجوفة). الفجوات في الدالة الكسرية هي نتيجة وجود عوامل مشتركة بين البسط والمقام. يمكن الحصول عليها عن طريق تحديد العوامل الخطية التي تعتبر عاملين مشتركين لكل من البسط والمقام للدالة تساوي الصفر وإيجاد قيمة x. يمكننا إيجاد إحداثيات y المناظرة للنقاط بالتعويض عن قيم x في الدالة المبسطة. إحداثيات هذه النقطة التي تمر من خلالها الدالة لكنها ليست جزءاً من مجال الدالة ومداها. فهي تمثل حقيقة أن الدالة تقترب من النقطة، ولكنها لم يتم تعريفها فعلياً وفقاً لقيمة x الدقيقة هذه. عندما تحتوي الدالة على ثقوب،
- خطوات إيجاد فجوات دالة كسرية
1- تبسيط الدالة الكسرية عن طريق تحليل البسط والمقام إلى عوامل.
2- البحث عن العوامل المشتركة التي يشترك فيها البسط والمقام.
3- نساوي كل عامل مشترك للصفر، وحلها لx .
4- نعوض قيمة x في الدالة لإيجاد إحداثي y .
مثال : أوجد ثقوب الدالة الكسرية (f(x) = (x²+5x+6)/(x²+x-2
الحل
1- تبسيط الدالة الكسرية عن طريق تحليل البسط والمقام إلى عوامل ونرى ما إذا كان هناك أي عوامل مشتركة.
f(x) = [ (x + 2)(x + 3) ] / [ (x + 2) (x - 1) ]
[ ̶(̶x̶ ̶+̶ ̶2̶)̶(x + 3) ] / [ ̶(̶x̶ ̶+̶ ̶2̶)̶ (x - 1) ] =
(x + 3) / (x - 1) =
نظرًا لأن (x + 2) تم شطبها ، فهناك فجوة عند x = -2. أما إحداثي y هو
f(-2) = (-2 + 3) / (-2 - 1) = -1/3
لذلك يوجد فجوة عند (1/3-,2-)
وبصورة عامة خطوات الرسم البياني للدالة الكسرية كما يلي :
- أوجد المجال والمجال المقابل (المدى) للدالة، وضعها في الاعتبار أثناء رسم المنحني .
- أوجد تقاطع xغ(x-intercept) و تقاطع yف(y-intercept)
- أوجد الخطوط المقاربة asymptotes (الرأسية والافقية والمائلة)، ويتم رسمها بخطوط منقطة للتأكد من أن الرسم البياني لايمسها .
- أوجد نقاط الفجوات إن وجدت.
- أنشئ جدولاً للقيم، بأخذ القيم العشوائية ل x، وإحسب القيم المقابلة لy.
- إرسم النقاط من الجدول وكذلك نقاط المجال والمجال المقابل والخطوط المقاربة.
مثال 1 : إرسم الدالة الكسرية f(x) = 1/x
الحل : بإتباع الخطوات أعلاه
- خطوط التقارب Asymptotes (سيرمز لها بخطوط منقطة)
يوجد خط تقارب عمودي(VA) عند x=0 [نساوي مقام الدالة بالصفر ونجد قيمة x]
يوجد خط تقارب اُفقي (HA) y=0 [عندما تكون درجة المقام أكبر من درجة البسط فان y=0].
لايوجد خطوط مائلة.
- مجال ومدى الدالة
المجال(the domain): يمثل مجموعة جميع قيم x التي يمكن أن تمتلكها الدالة من يسار خط الإحداثيات إلى اليمين، في هذه الدالة أدنى قيمة لx هي ∞- وأعلى قيمة هي ∞، عدا قيمة خط التقارب العمودي ، لذا فإن x ≠ 0
إذن مجال هذه الدالة هو D = (-∞,0) ⋃ (0,+∞)
كما يمكن كتابته{ 0≠ x = {x|x ، كل قيم x عدا الصفر الذي يجعل الدالة غير مُعَرّفة.
المدى (the range): يمثل مجموعة جميع قيم y الممكنة التي يمكن أن تمتلكها الدالة من أسفل خط الإحداثيات إلى الأعلى ، بإستثناء قيمة خط التقارب الاُفقي
مدى هذه الدالة هو R=(-∞,0)⋃(0,+∞)
أو {y|y≠0}:R
- جدول القيم
- تقاطعات x و y
تقاطع x هو قيمة x عند النقطة التي يتقاطع فيها المنحني مع المحور السيني أو (محور x).
ولإيجاد تقاطع x ،نعوض ب0 لy ونحل لأجل x ،
في هذا المثال لا يوجد تقاطع مع x.
تقاطع y هو قيمة y عند النقطة التي يتقاطع فيها المنحني مع المحور الصادي أو (محور y).
ولإيجاد تقاطع y ،نعوض ب0 لx ونحل لأجل y،
في هذا المثال لا يوجد تقاطع مع y.
- الجذور the roots
هي قيم x حيث يتقاطع الرسم البياني مع المحور السيني.
ولإيجاد الجذور أو الأصفار (zeros) ،إستبدل y ب0 وحل لأجل x،
في هذا المثال لا يوجد حل.
- الفجوات أو الثقوب the holes
نظراً لعدم إمكانية إزالة عوامل من المقام ، فلا توجد فجوات في الرسم البياني.
لايوجد فجوات
 |
| الرسم البياني للدالة الكسرية f(x)=1/x |
مثال 2 : إرسم الدالة الكسرية f(x) = 1/x²
الحل :
- خطوط التقارب Asymptotes (سيرمز لها بخطوط منقطة)
يوجد خط تقارب عمودي(VA) عند x=0 [نساوي مقام الدالة بالصفر ونجد قيمة x]
يوجد خط تقارب اُفقي (HA) عند y=0، [ درجة المقام أكبر من درجة البسط فان y=0].
لايوجد خطوط مائلة.
- مجال ومدى الدالة
المجال(the domain): يمثل مجموعة جميع قيم x التي يمكن أن تمتلكها الدالة من يسار خط الإحداثيات إلى اليمين، في هذه الدالة أدنى قيمة لx هي ∞- وأعلى قيمة هي ∞، عدا قيمة خط التقارب العمودي ، لذا فإن x ≠ 0
أقل قيمة لx هي ∞- والأعلى هي ∞+ وان x≠0 حيث أن المنحني لايمكنه التلامس مع خط التقارب العمودي لذا فإن المجال هو D=(-∞,0)⋃(0,+∞)
المدى (the range): يمثل مجموعة جميع قيم y الممكنة التي يمكن أن تمتلكها الدالة من أسفل خط الإحداثيات إلى الأعلى ، بإستثناء قيمة خط التقارب الاُفقي
أقل قيمة لy =0 وأعلى قيمة هي ∞+، لذا فإن المدى = (∞+,0) أو R: {y|y>0}
- جدول القيم
- تقاطعات x و y
تقاطع مع x ⇐ لايوجد.
تقاطع مع y ⇐ لايوجد.
- الجذور the roots
هي قيم x حيث يتقاطع الرسم البياني مع المحور السيني.
ولإيجاد الجذور أو الأصفار (zeros) ،إستبدل y ب0 وحل لأجل x،
في هذا المثال لا يوجد حل.
- الفجوات أو الثقوب the holes
نظراً لعدم إمكانية إزالة عوامل من المقام ، فلا توجد فجوات في الرسم البياني.
لايوجد فجوات
 |
| الرسم البياني للدالة الكسرية f(x)=1/x^2 |
ملاحظات مهمة :-
1- إن بسط الدالة الكسرية يكشف عن تقاطع x للرسم البياني، في حين أن المقام يكشف عن الخطوط المقاربة العمودية (VA) للرسم البياني.
2- تقاطعات x أو جذور أو حلول أو أصفار الدالة الكسرية يمكن إيجادها من خلال p(x)=0.
3- لاتحتاج كل دالة كسرية إلى وجود فجواتholes. توجد الفجوات فقط عندما يكون للبسط والمقام عوامل مشتركة خطية.
4- كل دالة كسرية لها خط متقارب عمودي واحد على الأقل.
5- كل دالة كسرية لها خط متقارب أُفقي واحد على الأكثر.
6- كل دالة كسرية لها خط متقارب مائل واحد على الأكثر.
7- تساعد القيّم المستبعدة لمجال الدالة الكسرية على تحديد VA خطوط التقارب العمودية.
8- تساعد القيّم المستبعدة لمدى الدالة الكسرية على تحديد HA خطوط التقارب الأفقية.
9- العوامل الخطية التي يتم حذفها عند تبسيط دالة كسرية تعطينا الفجوات (الثقوب).
10- عندما تكون درجة البسط أكبر من درجة المقام فإنه لايوجد خط تقارب أُفقي HA، بل يوجد خط تقارب مائل SA، مثال : y = (x-a)² / (x-b).
11- عندما تكون درجة البسط أصغر من درجة المقام فإن خط التقارب الافقي =0 ، أي أن y=0.
مثال : y= (x-a) / (x-b)².
12- عندما تكون درجة البسط والمقام متساوية (نفس الدرجة) فإن خط التقارب الافقي = معامل البسط/معامل المقام، مثال : y= (x-a)² / (x-b)² ، أو y= (x-a) / (x-b) ، خط التقارب الافقي =معامل البسط/معامل المقام=1.
13- عند كتابة مجال دالة كسرية قم بإزالة خط التقارب العمودي (VA) وإحداثي x لكل فجوة لديك.
14- المجال هو مجموعة كل قيم x التي تمر بها الدالة، والمدى هو مجموعة كل قيم y التي تمر أو تعرف بها الدالة.
15- خط التقارب هو الخط الذي يقترب منه منحني الدالة بدون أن يلمس المنحني.
تعليقات
إرسال تعليق