أمثلة وحلول لدوال كسرية مع الرسم البياني
مثال 1 :- إرسم الدالة الكسرية f(x) = 1/(x-1)
الحل:
1) إيجاد خطوط التقارب العمودي(VA) والافقي(HA)
على الرسم البياني، هو الخط الذي يقترب منه منحني الدالة بدون أن يلمس المنحني أو بدون أن يصل إليه مطلقاً، هنا سنرمز له بخط منقط .
- خط التقارب العمودي ⇐ x-1=0
⇐ x=1
- خط التقارب الافقي ⇐ لأن درجة البسط أصغر من درجة المقام، [درجة البسط=0 ودرجة المقام =1]
لذا فإن خط التقارب الافقي y=0
- لا توجد خطوط متقاربة مائلة.
2) إيجاد المجالthe Domain والمدى the Range
- المجال هو مجموعة جميع قيم x التي تمر بها الدالة.
أقل قيمة لx هي ∞- وأعلى قيمة لx هي ∞+، و نستبعد العدد 1 الذي يجعل المقام =0، وبالتالي تصبح الدالة غير معّرفة حيث لايمكن القسمة على الصفر.
D:(-∞,1)⋃(1,+∞), {x|x≠ 1}
- المدى مجموعة كل قيم y التي تَمر أو تعرّف بها الدالة.
R:(-∞,0)⋃(0,+∞), {y|y≠ 0}
3) تقاطعات xوyا (the x and y intercepts)
تقاطع x هو قيمة x عند النقطة التي يتقاطع فيها المنحني مع المحور السيني أو (محور x).
- لإيجاد تقاطع x ،نعوض بy =0 ونحل لx ، في هذه الدالة لايوجد تقاطع x.
تقاطع y هو قيمة y عند النقطة التي يتقاطع فيها المنحني مع المحور الصادي أو (محور y).
- لإيجاد تقاطع y ،نعوض بx =0 ونحل لy ، في هذه الدالة تقاطع y هو (1-,0).
4) جدول القيّم
5) الجذور(الأصفار)the Roots (zeros)
هي قيم x حيث يتقاطع الرسم البياني مع المحور x.
لإيجاد الجذور نعّوض yب0 ونحل لx.
في هذه الدالة لايوجد حل
6) الفجوات (الثقوب) the Holes
حيث لايوجد عوامل مشتركة بين البسط والمقام ولعدم إمكانية إزالة عوامل من المقام ، فلا يوجد فجوات في الرسم البياني.
 |
| f(x) = 1/x-1 |
مثال 2 :- إرسم الدالة الكسرية 5+ (f(x) = 1 /(x-3
الحل:
1) إيجاد خطوط التقارب Asymptotes [ العمودي(VA) والافقي(HA)].
على الرسم البياني، هو الخط الذي يقترب منه منحني الدالة بدون أن يلمس المنحني أو بدون أن يصل إليه مطلقاً، هنا سنرمز له بخط منقط .
- خط التقارب العمودي ⇐ x-3=0
⇐ x=3
- خط التقارب الافقي ⇐ الجزء الاول من الدالة نلاحظ أن درجة البسط أصغر من درجة المقام، [درجة البسط=0 ودرجة المقام =1] لذا فإن y=0 ، والجزء الثاني من الدالة يوجد 5+ ⇐ y=0+5
لذا فإن خط التقارب الاُفقي y=5.
- لا توجد خطوط متقاربة مائلة.
2) إيجاد المجالthe Domain والمدى the Range
- المجال هو مجموعة جميع قيم x التي تمر بها الدالة.
أدنى قيمة لx هي ∞- وأعلى قيمة لx هي ∞+، وبما أن خط التقارب العمودي 3 فنستبعد هذه القيمة أي أن x≠ 3 .ه D:(-∞,3)⋃(3,+∞) or {x|x ≠3}
- المدى مجموعة كل قيم y التي تَمر أو تعرّف بها الدالة.
R:(-∞,5) ⋃ (5,+∞), {y|y≠ 5}
3) تقاطعات xوyا (the x and y intercepts)
تقاطع x هو قيمة x عند النقطة التي يتقاطع فيها المنحني مع المحور السيني أو (محور x).
- لإيجاد تقاطع x ،نعوض بy =0 ونحل لx ، في هذه الدالة تقاطع xا ⇐ (14/5,0)
تقاطع y هو قيمة y عند النقطة التي يتقاطع فيها المنحني مع المحور الصادي أو (محور y).- لإيجاد تقاطع y ،نعوض بx =0 ونحل لy ، في هذه الدالة تقاطع y هو (14/3ا,0).
4) جدول القيّم
5) الجذور(الأصفار)the Roots (zeros)هي قيم x حيث يتقاطع الرسم البياني مع المحور x.لإيجاد الجذور نعّوض yب0 ونحل لx.x=14/5 6) الفجوات (الثقوب) the Holesحيث لايوجد عوامل مشتركة بين البسط والمقام ولعدم إمكانية إزالة عوامل من المقام ، فلا يوجد فجوات في الرسم البياني.لايوجد فجوات.
مثال 3 :- إرسم الدالة الكسرية (f(x) = -1/(x-1
الحل:
1) إيجاد خطوط التقارب Asymptotes [ العمودي(VA) والافقي(HA)].
على الرسم البياني، هو الخط الذي يقترب منه منحني الدالة بدون أن يلمس المنحني أو بدون أن يصل إليه مطلقاً، هنا سنرمز له بخط منقط .
- خط التقارب العمودي ⇐ x-1=0
⇐ x=1
- خط التقارب الافقي ⇐ درجة البسط أصغر من درجة المقام، [درجة البسط=0 ودرجة المقام =1]
لذا فإن خط التقارب الاُفقي y=0.
- لا توجد خطوط متقاربة مائلة.
2) إيجاد المجالthe Domain والمدى the Range
- المجال هو مجموعة جميع قيم x التي تمر بها الدالة.
أقل قيمة لx هي ∞- وأعلى قيمة لx هي ∞+، ولايمر بالنقطة 1.
D:(-∞,1)⋃(1,+∞), {x|x≠ 1 }
- المدى مجموعة كل قيم y التي تَمر أو تعرّف بها الدالة.
R:(-∞,0)⋃(0,+∞), {y|y≠ 0}
3) تقاطعات xوyا (the x and y intercepts)
تقاطع x هو قيمة x عند النقطة التي يتقاطع فيها المنحني مع المحور السيني أو (محور x).
- لإيجاد تقاطع x ،نعوض بy =0 ونحل لx ، في هذه الدالة لايوجد تقاطع x.
تقاطع y هو قيمة y عند النقطة التي يتقاطع فيها المنحني مع المحور الصادي أو (محور y).
- لإيجاد تقاطع y ،نعوض بx =0 ونحل لy ، في هذه الدالة تقاطع y هو (1',0).
4) جدول القيّم
5) الجذور(الأصفار)the Roots (zeros)
هي قيم x حيث يتقاطع الرسم البياني مع المحور x.
لإيجاد الجذور نعّوض yب0 ونحل لx.
في هذه الدالة لايوجد حل
6) الفجوات (الثقوب) the Holes
حيث لايوجد عوامل مشتركة بين البسط والمقام ولعدم إمكانية إزالة عوامل من المقام ، فلا يوجد فجوات في الرسم البياني.
 |
| f(x) -1/x-1 |
مثال 4 :- إرسم الدالة الكسرية f(x)= 1/(x+2) -3
الحل:-
1) إيجاد خطوط التقارب Asymptotes [ العمودي(VA) والافقي(HA)].
على الرسم البياني، هو الخط الذي يقترب منه منحني الدالة بدون أن يلمس المنحني أو بدون أن يصل إليه مطلقاً، هنا سنرمز له بخط منقط .
- خط التقارب العمودي ⇐ x+2=0
⇐ x=-2
- خط التقارب الافقي ⇐ الجزء الاول من الدالة نلاحظ أن درجة البسط أصغر من درجة المقام، [درجة البسط=0 ودرجة المقام =1] لذا فإن y=0 ، والجزء الثاني من الدالة يوجد 3- ⇐ y = 0-3
لذا فإن خط التقارب الافقي y= -3.
- لا توجد خطوط متقاربة مائلة.
2) إيجاد المجالthe Domain والمدى the Range
- المجال هو مجموعة جميع قيم x التي تمر بها الدالة.
أقل قيمة لx هي ∞- وأعلى قيمة لx هي ∞+ ، ولا يمر بالنقطة 2-
D:(-∞,-2)⋃(-2,+∞), {x|x≠ -2 }
- المدى مجموعة كل قيم y التي تَمر أو تعرّف بها الدالة.
R:(-∞,-3)⋃(-3,+∞), {y|y≠-3}
3) تقاطعات xوyا (the x and y intercepts)
تقاطع x هو قيمة x عند النقطة التي يتقاطع فيها المنحني مع المحور السيني أو (محور x).
- لإيجاد تقاطع x ،نعوض بy =0 ونحل لx، تقاطع xا (5/3,0-).
تقاطع y هو قيمة y عند النقطة التي يتقاطع فيها المنحني مع المحور الصادي أو (محور y).
- لإيجاد تقاطع y ،نعوض بx =0 ونحل لy ، في هذه الدالة تقاطع y هو (5/2-',0).
4) جدول القيّم
5) الجذور(الأصفار)the Roots (zeros)
هي قيم x حيث يتقاطع الرسم البياني مع المحور x.
لإيجاد الجذور نعّوض yب0 ونحل لx.
x = -5/3
6) الفجوات (الثقوب) the Holes
حيث لايوجد عوامل مشتركة بين البسط والمقام ولعدم إمكانية إزالة عوامل من المقام ، فلا يوجد فجوات في الرسم البياني.
 |
مثال 5 :- إرسم الدالة الكسرية f(x)= -1/(x+2) +3
الحل:
1) إيجاد خطوط التقارب Asymptotes العمودي(VA) والافقي(HA)
على الرسم البياني، هو الخط الذي يقترب منه منحني الدالة بدون أن يلمس المنحني أو بدون أن يصل إليه مطلقاً، هنا سنرمز له بخط منقط .
- خط التقارب العمودي ⇐ x+2=0
⇐ x=-2
- خط التقارب الافقي ⇐ y= 3 ، الجزء الاول من الدالة نلاحظ أن درجة البسط أصغر من درجة المقام، [درجة البسط=0 ودرجة المقام =1] لذا فإن y=0 ، والجزء الثاني من الدالة يوجد3+ ⇐ y=0+3
- لا توجد خطوط متقاربة مائلة.
2) إيجاد المجالthe Domain والمدى the Range
- المجال هو مجموعة جميع قيم x التي تمر بها الدالة.
أقل قيمة لx هي ∞- وأعلى قيمة لx هي ∞+، ولايمر بالنقطة 2-
D:(-∞,-2)⋃(-2,+∞), {x|x≠ -2 }
- المدى مجموعة كل قيم y التي تَمر أو تعرّف بها الدالة.
R:(-∞,3)⋃(3,+∞), {y|y≠ 3}
3) تقاطعات xوyا (the x and y intercepts)
تقاطع x هو قيمة x عند النقطة التي يتقاطع فيها المنحني مع المحور السيني أو (محور x).
- لإيجاد تقاطع x ،نعوض بy =0 ونحل لx، تقاطع xا (5/3,0-).
تقاطع y هو قيمة y عند النقطة التي يتقاطع فيها المنحني مع المحور الصادي أو (محور y).
- لإيجاد تقاطع y ،نعوض بx =0 ونحل لy ، في هذه الدالة تقاطع y هو (5/2',0).
4) جدول القيّم
5) الجذور(الأصفار)the Roots (zeros)
هي قيم x حيث يتقاطع الرسم البياني مع المحور x.
لإيجاد الجذور نعّوض yب0 ونحل لx.
x = -5/3
6) الفجوات (الثقوب) the Holes
حيث لايوجد عوامل مشتركة بين البسط والمقام ولعدم إمكانية إزالة عوامل من المقام ، فلا يوجد فجوات في الرسم البياني.
مثال 6 :- إرسم الدالة الكسرية f(x)= 1/(x-2)² +1
الحل:
1) إيجاد خطوط التقارب Asymptotes [العمودي(VA) والافقي(HA) ]
على الرسم البياني، هو الخط الذي يقترب منه منحني الدالة بدون أن يلمس المنحني أو بدون أن يصل إليه مطلقاً، هنا سنرمز له بخط منقط .
- خط التقارب العمودي ⇐ x-2=0
⇐ x =2
- خط التقارب الافقي ⇐ y =1
- لا توجد خطوط متقاربة مائلة.
2) إيجاد المجالthe Domain والمدى the Range
- المجال هو مجموعة جميع قيم x التي تمر بها الدالة.
أقل قيمة لx هي ∞- وأعلى قيمة لx هي ∞+
D:(-∞,2)⋃(2,+∞), {x|x≠ 2 }
- المدى مجموعة كل قيم y التي تَمر أو تعرّف بها الدالة.
R:(1,+∞), {y|y > 1}
3) تقاطعات xوyا (the x and y intercepts)
تقاطع x هو قيمة x عند النقطة التي يتقاطع فيها المنحني مع المحور السيني أو (محور x).
- لإيجاد تقاطع x ،نعوض بy =0 ونحل لx، لايوجدتقاطع مع x.
تقاطع y هو قيمة y عند النقطة التي يتقاطع فيها المنحني مع المحور الصادي أو (محور y).
- لإيجاد تقاطع y ،نعوض بx =0 ونحل لy ، في هذه الدالة تقاطع y هو (5/4',0).
4) جدول القيّم
5) الجذور(الأصفار)the Roots (zeros)
هي قيم x حيث يتقاطع الرسم البياني مع المحور x.
لإيجاد الجذور نعّوض yب0 ونحل لx.
x= 2+i
x = 2-i
6) الفجوات (الثقوب) the Holes
حيث لايوجد عوامل مشتركة بين البسط والمقام ولعدم إمكانية إزالة عوامل من المقام ، فلا يوجد فجوات في الرسم البياني.
ملاحظة: نلاحظ أن الدالة تربيعية يعني أنه يوجد تناظر على الطرف الأيسر والطرف الأيمن لخط التقارب العمودي (VA)، لذا فإن الرسم يمكن أن يكون أعلى خط التقارب الافقي أو أسفل خط التقارب الافقي(HA). وبما أن الدالة موجبة أي لايوجد إشارة سالبة في بسط الدالة الكسرية، لذا فإن المنحني سيكون أعلى خط التقارب الافقي.
مثال7:إرسم الدالة الكسرية f(x)= -1/(x+1)² +2 الحل:
1) إيجاد خطوط التقارب Asymptotes [ العمودي(VA) والافقي(HA) ]
على الرسم البياني، هو الخط الذي يقترب منه منحني الدالة بدون أن يلمس المنحني أو بدون أن يصل إليه مطلقاً، هنا سنرمز له بخط منقط .
- خط التقارب العمودي ⇐ x+1=0
⇐x =-1
- خط التقارب الافقي ⇐ y =2 ،الجزء الاول من الدالة[درجة البسط أصغر من درجة المقام] لذا فإن y=0 والجزء الثاني من الدالة 2+ ⇐ y =0+2=2
- لا توجد خطوط متقاربة مائلة.
2) إيجاد المجالthe Domain والمدى the Range
- المجال هو مجموعة جميع قيم x التي تمر بها الدالة.
أقل قيمة لx هي ∞- وأعلى قيمة لx هي ∞+
D:(-∞,-1)⋃(-1,+∞), {x|x≠ -1}
- المدى مجموعة كل قيم y التي تَمر أو تعرّف بها الدالة.
R:(-∞,2), {y|y < 2}
3) تقاطعات xوyا (the x and y intercepts)
تقاطع x هو قيمة x عند النقطة التي يتقاطع فيها المنحني مع المحور السيني أو (محور x).
- لإيجاد تقاطع x ،نعوض بy =0 ونحل لx، نقاط تقاطع مع x
(√2 - 1,0) , (-√2 - 1,0)
2 2
تقاطع y هو قيمة y عند النقطة التي يتقاطع فيها المنحني مع المحور الصادي أو (محور y).
- لإيجاد تقاطع y ،نعوض بx =0 ونحل لy ، في هذه الدالة تقاطع y هو (1',0).
4) جدول القيّم
5) الجذور(الأصفار)the Roots (zeros)
هي قيم x حيث يتقاطع الرسم البياني مع المحور x.
لإيجاد الجذور نعّوض yب0 ونحل لx.
x = √2 - 1 , -√2 - 1
2 2
6) الفجوات (الثقوب) the Holes
حيث لايوجد عوامل مشتركة بين البسط والمقام ولعدم إمكانية إزالة عوامل من المقام ، فلا يوجد فجوات في الرسم البياني.
ملاحظة: في هذه الدالة يوجد إشارة سالبة لذا فإن الرسم البياني سوف ينعكس على خط التقارب الافقي أي أن الرسم سيكون أسفل HA. ولا ننسى أن الدالة تربيعية هذا يعني أن هناك تناظر على المحور الصادي (محورy) وليس حول نقطة الاصل(0,0) :وهي نقطة تقاطع محور x مع محور y.
مثال 8 :- إرسم الدالة الكسرية (x+3) / (f(x)= (2x - 4
الحل:
1) إيجاد خطوط التقارب Asymptotes [ العمودي(VA) والافقي(HA) ]
على الرسم البياني، هو الخط الذي يقترب منه منحني الدالة بدون أن يلمس المنحني أو بدون أن يصل إليه مطلقاً، هنا سنرمز له بخط منقط .
- خط التقارب العمودي ⇐ x+3=0
⇐x =-3
- خط التقارب الافقي ⇐ y =2 [درجة البسط =درجة المقام=1، ولأن درجة البسط والمقام متساوية فإن y = معامل البسط مقسوم على معامل المقام 2/1 ]
- لا توجد خطوط متقاربة مائلة.
2) إيجاد المجالthe Domain والمدى the Range
- المجال هو مجموعة جميع قيم x التي تمر بها الدالة.
D:(-∞,-3)⋃(-3,+∞), {x|x≠ -3}
- المدى مجموعة كل قيم y التي تَمر أو تعرّف بها الدالة.
R:(-∞,2)⋃(2,+∞), {y|y≠ 2}
3) تقاطعات xوyا (the x and y intercepts)
تقاطع x هو قيمة x عند النقطة التي يتقاطع فيها المنحني مع المحور السيني أو (محور x).
- لإيجاد تقاطع x ،نعوض بy =0 ونحل لx، نقاط تقاطع مع x
(2,0)
تقاطع y هو قيمة y عند النقطة التي يتقاطع فيها المنحني مع المحور الصادي أو (محور y).
- لإيجاد تقاطع y ،نعوض بx =0 ونحل لy ، في هذه الدالة تقاطع y هو (4/3-',0).
4) جدول القيّم
5) الجذور(الأصفار)the Roots (zeros)
هي قيم x حيث يتقاطع الرسم البياني مع المحور x.
لإيجاد الجذور نعّوض yب0 ونحل لx.
x= 2
6) الفجوات (الثقوب) the Holes
حيث لايوجد عوامل مشتركة بين البسط والمقام ولعدم إمكانية إزالة عوامل من المقام ، فلا يوجد فجوات في الرسم البياني.
لايوجد فجوات
مثال 9 :- إرسم الدالة الكسرية (x²- 4) / f(x)= 3x²
الحل:
1) إيجاد خطوط التقارب Asymptotes [ العمودي(VA) والافقي(HA)]
على الرسم البياني، هو الخط الذي يقترب منه منحني الدالة بدون أن يلمس المنحني أو بدون أن يصل إليه مطلقاً، هنا سنرمز له بخط منقط .
- خط التقارب العمودي ⇐ x²- 4=0
⇐x² =4
⇐x = 土2
- خط التقارب الافقي ⇐ y =3 [درجة البسط =درجة المقام = 2، ولأن درجة البسط والمقام متساوية فإن y = معامل البسط مقسوم على معامل المقام 3/1]
- لا توجد خطوط متقاربة مائلة.
2) إيجاد المجالthe Domain والمدى the Range
- المجال هو مجموعة جميع قيم x التي تمر بها الدالة.
D:(-∞,-2)⋃(-2,+2)⋃(2,+∞), {x|x≠ 2,-2}
- المدى مجموعة كل قيم y التي تَمر أو تعرّف بها الدالة.
R:(-∞,0]⋃(3,+∞), {y|y≼0 , y>3}
3) تقاطعات xوyا (the x and y intercepts)
تقاطع x هو قيمة x عند النقطة التي يتقاطع فيها المنحني مع المحور السيني أو (محور x).
- لإيجاد تقاطع x ،نعوض بy =0 ونحل لx، نقاط تقاطع مع x
(0,0)
تقاطع y هو قيمة y عند النقطة التي يتقاطع فيها المنحني مع المحور الصادي أو (محور y).
- لإيجاد تقاطع y ،نعوض بx =0 ونحل لy ، في هذه الدالة تقاطع y هو (0',0).
4) جدول القيّم
5) الجذور(الأصفار)the Roots (zeros)
هي قيم x حيث يتقاطع الرسم البياني مع المحور x.
لإيجاد الجذور نعّوض yب0 ونحل لx.
x= 0
6) الفجوات (الثقوب) the Holes
حيث لايوجد عوامل مشتركة بين البسط والمقام ولعدم إمكانية إزالة عوامل من المقام ، فلا يوجد فجوات في الرسم البياني.
لايوجد فجوات
 = 1/(x-1) الحل: 1) إيجاد خطوط التقارب العمودي(VA) و…){kind=link}
تعليقات
إرسال تعليق