الرسم البياني للدوال الأسية Graphs Of Exponential Function/ تعريفها، أنواعها مع أمثلة محلوله

الرسم البياني للدالة الأسية

نظرة عامة على الدالة الأسية

الدالة الأسية هي نوع من الدوال الرياضية،التي تُشكل نموذجاً للعديد من الظواهر العلمية، حيث يتم إستخدامها بشكل أساسي في العثور على النمو أو التناقص لمجموعة معينة من البيانات على سبيل المثال حساب التغيرات لعدد السكان (النمو السكاني) والمال، أو التغيرات في النمو البكتيري أو الإضمحلال الإشعاعي أو إنتشار الأمراض في أبسط صورها وغير ذلك التي تنمو وتتحلل بشكل أُسي.

تبدو الدوال الأسية مشابهه إلى حد ما لدوال أُخرى، فكما يوحي إسمها فإن الدالة الأسية تتضمن الأُسس، لكن هناك فرقاً كبيراًً عن باقي الدوال حيث أن المتغير في الدالة الأسية هو القوة(الأُس) وليس الأساس، وقاعدتها (الأساس) عدد ثابت وليس العكس (فلو كانت الدالة قاعدتها متغير والاُس هو الثابت فهي دالة قوة وليست دالة أُسية). لنلاحظ الدوال التالية:

y=2ˣ دالة أُسية لأن الأساس ثابت والأس متغير.

y=x² دالة تربيعية لأن الأساس متغير والأس ثابت.

تمثل الدوال الأسية علاقة يعطي فيها التغيير المستمر في المتغير المستقل نفس التغيير النسبي (أي النسبة المئوية للزيادة أو النقصان) في المتغير التابع، يحدث هذا على نطاق واسع في العلوم الطبيعية والاجتماعية لذا تظهر الدالة الأسية في مجموعة متنوعة من السياقات في الفيزياء وعلوم الكمبيوتر والكيمياء والهندسة وعلم الأحياء الرياضي والاقتصاد.

⊙ الدالة اللوغاريتمية هي معكوس الدالة الأسية ويُشار إليها بإسم Ln، loge أو Log.

سنناقش في هذه المقالة تعريف الدالة الأسية و أنواعها ورسومها البيانية وكذلك صيغها الأسية مع بعض الأمثلة التي تم حلها.

تعريف الدالة الأسية Definition of Exponential Function

في الرياضيات، الدالة الأُسية هي دالة ذات الشكل العام f(x) = aˣ، حيث أن الأس x هو متغير و a هو عدد ثابت و يسمى أساس الدالة وهو عدد حقيقي أكبر من 0 كما وأن a≠1 . يمكن أن تكون الدالة الأسية في أحد الأشكال التالية :

- f(x) = bˣ , b>1 , b≠0

- f(x) = abˣ

- f(x) = abⁿˣ

- f(x) = eˣ

- f(x) = eˢˣ

- f(x) = p eˢˣ

x هو المتغير، وجميع الأحرف الاخرى عبارة عن ثوابت، إن الأساس في كل دالة أُسية يجب أن يكون عدداً موجباً. أي أن b>0 و e>0. أيضاً لا يجب أن تكون b مساوية ل1 (أذا b=1 فإن الدالة f(x) = bˣ ستصبح f(x)=1 وفي هذه الحالة الدالة ستكون خطية وليست أُسية).

بعض الأمثلة على الدالة الأسية:

f(x) = (1/2)ˣ ، f(x) = 2ˣ ، f(x)= 4e³ˣ ، f(x)= 2(3)⁻²ˣ.

صيغة الدالة الأسية

الدالة الأسية الأساسية، من تعريفها هي من الشكل f(x) = aˣ، حيث a عدد ثابت و x متغير.

a>0 و a لايساوي 1 ، وأن x هو أي عدد حقيقي.

الدالة f(x) تزداد مع زيادة قيم x، ويعتمد منحنى الدالة الأسية على قيمة x. بمعنى إن النمو الأسي أو الإضمحلال الأسي يعتمد على الدالة الأسية. إنّ أي كمية تنمو أو تضمحل بنسبة ثابتة في المائة على فترات منتظمة يجب أن تتمتع إما بالنمو الأسي أو الإضمحلال الأسي.

- مجال الدالة الأسية هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ℝ، في حين أن مداها أو نطاقها هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية الموجبة.

إحدى الدوال الأسية الشائعة هي الدالة f(x) = eˣ حيث (e) هو رقم أُويلر.

رقم أُويلر

هو رقم غير نسبي، هذا الرقم يلعب دوراً حاسماً في الرياضيات. إنه يمثل أساس الدوال الأسية واللوغاريتمات. لايتم إستخدام هذا الثابت الرياضي في الرياضيات فحسب بل يستخدم بنفس القدر من الأهمية في الفيزياء.

قيمة e تساوي تقريباً 2.718 .

أنواع الدالة الأسية
يتم تصنيف الدالة الأسية إلى نوعين بناءً على نمو أو إضمحلال المنحنى الأسي، أي النمو الأسي والإضمحلال الأسي :

1) دالة النمو الأسي Exponential growth

هي الدالة التي تدل على زيادة القيم بإستمرار مع مرور الوقت، بمعدل ثابت مما يؤدي إلى إنشاء منحنى دالة أسية، والمتغير الذي يمثل الوقت هو الأس. في البداية تزداد القيم ببطء شديد ثم بسرعة هائلة ويزداد معدل التغير مع مرور الوقت، (أي يصبح معدل النمو أسرع مع مرور الوقت)، لذا تسمى بدالة النمو بسبب تلك الزيادة في القيم .

فالنمو الأسي هو عملية تَزايُد حيث تتزايد قيمة x خلال فترات زمنية متساوية بنفس معدل الزيادة. ومن ثم فان نهايته تكون متباعده.

الدالة f(x) = bˣ عندما b>1 تمثل دالة نمو أُسي.

أمثلة: f(x) = 0.5(3)ˣ ، f(x) = 5ˣ-1 ، f(x) = 2ˣ دوال النمو الأُسي.

صيغة تحديد النمو الأسي هي :

y = a (1+r)ˣ

حيث a هي القيمة الأولية

و r هي نسبة النمو،

و rا+1 =b

إن النمو الأسي يفوق الزيادة الخطية أو الزيادة التربيعية أو الزيادة التكعيبية هذا يجعل تصورنا لنموها بعيداً وأقل من الحقيقة.

يسمح النمو الأسي للمستثمرين بإنشاء مبالغ كبيرة برأس مال أولي ضئيل. وتستخدم هذه الدالة في حساب الزيادة السكانية أو عائدات الشركات، ولتوضيح النمو الإقتصادي ، والفائدة المركبة ونمو البكتيريا في البيئة وما إلى ذلك.

2) دالة التناقص الأسي Exponential decay

التناقص الأسي هو تغيّر رياضي يتناقص مقداره بمرور الزمن ، في البداية تنخفض القيم بسرعة كبيرة، ثم تتلاشى تدريجياً. ويستمر معدل التغير في التناقص مع مرور الوقت، ومن ثم يقترب من نهاية محددة.

الدالة f(x) = bˣ حيث b، 0<b<1تمثل دالة تناقص أُسي.

أمثلة : f(x) = 0.62ˣ ، f(x) = (1/2)ˣ دوال التناقص الأسي

تستخدم دالة التناقص الأسي لحساب التكلفة في المشاريع طويلة المدى، كما يمكن تطبيق مفهوم الإضمحلال الأسي لتحديد عُمر النصف، ومتوسط العُمر، والإضمحلال السكاني والإضمحلال الإشعاعي وما إلى ذلك.

صيغة تحديد النمو الأسي هي :

y = a (1- r)ˣ

حيث r هي نسبة الإضمحلال

الخطوط المقاربة للدالة الأسية Asymptotes of an exponential function

لاتحتوي الدالة الأسية على خط مقارب رأسي لأن الدالة تتزايد/تتناقص بشكل مستمر. ولكن لديها خط مقارب أُفقي. معادلة الخط المقارب الأفقي للدالة الأسية f(x)=abˣ+c هو دائماً y=c.

مجال ومدى الدالة الأسية The domain and range of the exponential function

نعلم أن مجال الدالة y=f(x) هو مجموعة جميع قيم x (المدخلات)، والمدى هو مجموعة جميع قيم y (مخرجات) الدالة.

يمكن حساب الدالة الأسية عند جميع قيم x. وبالتالي فإن مجال الدالة الأُسية هو مجموعة جميع الأعداد أو (∞,∞-).

يمكن تحديد مدى (نطاق) الدالة الأسية من خلال الخط المقارب الأفقي للرسم البياني، أي ان مدى الدالة الأسية يعتمد على قِيّم a و b على سبيل المثال

عندما b=1 ، فإن مدى الدالة f(x) = abˣ هو {a}.
عندما b≠1 وأن a>0 ، فإن مدى الدالة f(x) = abˣ هو (∞,0).
عندما b≠1 وأن a<0 ، فإن مدى الدالة f(x) = abˣ هو (0,∞-).

الرسم البياني للدالة الأسية Exponential Function Graph

إن العمل بإستخدام معادلة تَصِف موقِفاً حقيقياً يمنحنا طريقة للتنبؤ ، إلا أن أحياناً المعادلة نفسها ليست كافية ، فنحن نتعلم الكثير من خلال رؤية تمثيلاتها المرئية، لذا فإن رسم المعادلات الأسية يمنحنا رؤية تامة للتنبؤ بالأحداث المستقبلية.

الرسم البياني الأسي هو منحنى يمثل دالة أُسية. دائماً ما يكون له خط مقارب أُفقي (horizontal asymptote) و لا يوجد خط مقارب عمودي (رأسي)(vertical asymptote) لجميع قيم x. وله إما ميل متزايد أو منحدر متناقص. دائماً مايقطع المحور الصادي (y-axis) في نقطة ما ولكنه قد يقطع أو لا يقطع المحور السيني(x-axis). فمثلاً يحتوي الرسم البياني الأسي دائماً على تقاطع ص y-intercept ولكن قد يحتوي أو لا يحتوي على تقاطع س x-intercept.

○ معادلة الخط المقارب الأفقي للدالة الأسية f(x)=abˣ+c هي دائماً y=c .
فمثلاً الخط المقارب الأفقي للدالة f(x) = 2ˣ هو y=0
والخط المقارب الأفقي للدالة 3+f(x) = 2ˣ هو y=3
والخط المقارب الأفقي للدالة 2 -f(x) = 2ˣ هو y=-2
وعليه إذا لم ترى أي عدد بجانب 2ˣ فإن خط التقارب الأفقي هو y=0.

○ أما بالنسبة لمجال ومدى الدالة الأسية(Domain and Range of Exponential Function)
كما نعلم أن المجال لأي دالة هو مجموعة جميع قيم x (المُدخَلات) التي يمكن أن تحتوي عليها الدالة، والمدى هو مجموعة جميع قيم y (المخرجات) التي يمكن أن تحتويها الدالة.
ومجال الدالة الأسية هو جميع الأعداد الحقيقية ℝ أو (∞,∞-)، والمدى هو جميع الأعداد الحقيقية أكبر من الصفر، حيث أن أقل قيمةلy تبدأ من خط التقارب الأفقي وأعلى قيمة لy ترتفع إلى ∞.

وبالتالي لرسم دالة أسية يكون عن طريق رسم الخط المقارب الأفقي (H.A)، التقاطعات(Intercepts)، وبعض القيم العشوائية لx. كما هو الحال مع الدوال الأخرى، يمكن إستخدام الأزواج المرتبة لرسم دالة أُسية.

إليك خطوات الرسم البياني الأسي :
خطوة 1: أوجد الخط المقارب الأفقي .
خطوة 2: أوجد (y-intercept) تقاطع y بالتعويض x=0 في الدالة، كل رسم بياني أسي له خط مقارب أُفقي.
خطوة 3: أوجد (x-intercept) تقاطع x بالتعويض y=0 في الدالة، الرسم البياني الأسي قد يحتوي أو لا يحتوي على تقاطع x.
خطوة 4: قم بإنشاء جدول للقيم به عمودين xوy ، إختر بعض الأرقام العشوائية ل x ، عوّض بكل من هذه الأرقام في الدالة للحصول على قيم y المقابلة لها.
خطوة 5: إرسم كل المعلومات الواردة في الخطوات السابقة ، قم بتوصيل النقاط مع بعضها بمنحنى سلس دون لمس الخط المقارب الأفقي ولكن الوصول إليه.

مثال 1 :- إرسم بيانياً الدالة الأسية y = 2ˣ
الحل :-
• خط التقارب الأفقي لهذه الدالة هو y=0
• لإيجاد تقاطع x، نعوّض بy=0 ثم نحل لإيجاد x.
في هذا المثال لايوجد تقاطع x.
ولإيجاد تقاطع y نعوّض بx=0 ثم نحل لإيجاد y.
تقاطعyا : (0,1).
• إن مجال الدالة y=2ˣ هو كل الأعداد الحقيقيةl (-∞,∞) , {x|x∈ℝ}
وإن مدى الدالة l (0,∞) , {y|y>0}
• إنشاء جدول القيم، إختر قيم لx وإستبدل القيم في الدالة وإحسب قيم y.

• إرسم بيانياً الأزواج المرتبة وقم بتوصيل النقاط بمنحنى سلس.

الدالة الأسية y=2ˣ
الرسم البياني يقترب من المحور السيني إلا أنه لا يتماس معه

لاحظ أن الرسم البياني ينمو ببطئ في البداية ، ولكنه ينمو بعد ذلك أضعافاً مضاعفة كلما زادت قيم x.

مثال 2 :- إرسم بيانياً الدالة الأسية y = 2⁻ˣ
الحل :-
• خط التقارب الأفقي لهذه الدالة هو y=0
• لإيجاد تقاطع x، نعوّض بy=0 ثم نحل لإيجاد x.
في هذا المثال لايوجد تقاطع x.
ولإيجاد تقاطع y نعوّض بx=0 ثم نحل لإيجاد y.
تقاطع yا : (0,1).
• إن مجال الدالة y = 2⁻ˣ هو كل الأعداد الحقيقيةl (-∞,∞) , {x|x∈ℝ}
وإن مدى الدالة l (0,∞) , {y|y>0}
• إنشاء جدول القيم، إختر قيم لx وإستبدل القيم في الدالة وإحسب قيم y.

• إرسم بيانياً الأزواج المرتبة وقم بتوصيل النقاط بمنحنى سلس.

الدالة الأسية y=2-ˣ
الرسم البياني يقترب من المحور السيني إلا أنه لا يتماس معه

لاحظ أن الرسم البياني ينمو ببطئ في البداية ، ولكنه ينمو بعد ذلك أضعافاً مضاعفة كلما زادت قيم x.

مثال 3 :- إرسم بيانياً الدالة الأسية y = - 2ˣ
الحل :
• خط التقارب الأفقي لهذه الدالة هو y=0
• لإيجاد تقاطع x، نعوّض بy=0 ثم نحل لإيجاد x.
في هذا المثال لايوجد تقاطع x.
ولإيجاد تقاطع y نعوّض بx=0 ثم نحل لإيجاد y.
تقاطع yا =: (1ا-,0).
• إن مجال الدالة y=-2ˣ هو كل الأعداد الحقيقيةl (-∞,∞) , {x|x∈ℝ}
وإن مدى الدالة {l , {y|y<0
(0,∞-)
• إنشاء جدول القيم، إختر قيم لx وإستبدل القيم في الدالة وإحسب قيم y.

• إرسم بيانياً الأزواج المرتبة وقم بتوصيل النقاط بمنحنى سلس.

الدالة الأسية y=-2ˣ
الرسم البياني يقترب من المحور السيني إلا أنه لا يتماس معه

مثال 4 :- إرسم بيانياً الدالة الأسية y = - 2⁻ˣ
الحل :
• خط التقارب الأفقي لهذه الدالة هو y=0
• لإيجاد تقاطع x، نعوّض بy=0 ثم نحل لإيجاد x.
في هذا المثال لايوجد تقاطع x.
ولإيجاد تقاطع y نعوّض بx=0 ثم نحل لإيجاد y.
تقاطع yا : (1ا-,0).
• إن مجال الدالة y = -2⁻ˣ هو كل الأعداد الحقيقيةl (-∞,∞) , {x|x∈ℝ}
وإن مدى الدالة {l , {y|y<0
(0,∞-)
• إنشاء جدول القيم، إختر قيم لx وإستبدل القيم في الدالة وإحسب قيم y.

• إرسم بيانياً الأزواج المرتبة وقم بتوصيل النقاط بمنحنى سلس.

الدالة الأسية y=-2-ˣ

مثال 5 :- إرسم بيانياً الدالة الأسية y = (1/2)ˣ
الحل :
• خط التقارب الأفقي لهذه الدالة هو y=0
• لإيجاد تقاطع x، نعوّض بy=0 ثم نحل لإيجاد x.
في هذا المثال لايوجد تقاطع x.
ولإيجاد تقاطع y نعوّض بx=0 ثم نحل لإيجاد y.
تقاطع yا : (1-,0).
• إن مجال الدالة y = (1/2)ˣ هو كل الأعداد الحقيقيةl (-∞,∞) , {x|x∈ℝ}
وإن مدى الدالة {l , {y|y>0
(∞,0)
• إنشاء جدول القيم، إختر قيم لx وإستبدل القيم في الدالة وإحسب قيم y.

• إرسم بيانياً الأزواج المرتبة وقم بتوصيل النقاط بمنحنى سلس.
الدالة الأسية y=(1/2)ˣ

مثال 6 :- إرسم بيانياً الدالة الأسية y = (1/2)⁻ˣ
الحل :
• خط التقارب الأفقي لهذه الدالة هو y=0
• لإيجاد تقاطع x، نعوّض بy=0 ثم نحل لإيجاد x.
في هذا المثال لايوجد تقاطع x.
ولإيجاد تقاطع y نعوّض بx=0 ثم نحل لإيجاد y.
تقاطع yا : (1-,0).
• إن مجال الدالة y = (1/2)ˣ هو كل الأعداد الحقيقيةl (-∞,∞) , {x|x∈ℝ}
وإن مدى الدالة {l , {y|y>0
(∞,0)
إنشاء جدول القيم، إختر قيم لx وإستبدل القيم في الدالة وإحسب قيم y.

• إرسم بيانياً الأزواج المرتبة وقم بتوصيل النقاط بمنحنى سلس.

الدالة الأسية y=(1/2)-ˣ

مثال 7 :- إرسم بيانياً الدالة الأسية y = - (1/2)ˣ
الحل :
• خط التقارب الأفقي لهذه الدالة هو y=0
• لإيجاد تقاطع x، نعوّض بy=0 ثم نحل لإيجاد x.
في هذا المثال لايوجد تقاطع x.
ولإيجاد تقاطع y نعوّض بx=0 ثم نحل لإيجاد y.
تقاطع yا : (1--,0).
• إن مجال الدالة y = (1/2)ˣ هو كل الأعداد الحقيقيةl (-∞,∞) , {x|x∈ℝ}
وإن مدى الدالة {l , {y|y<0
  (0,∞-)
• إنشاء جدول القيم، إختر قيم لx وإستبدل القيم في الدالة وإحسب قيم y.

• إرسم بيانياً الأزواج المرتبة وقم بتوصيل النقاط بمنحنى سلس.

الدالة الأسية y= - (1/2)ˣ

مثال 8 :- إرسم بيانياً الدالة الأسية 2 - ¹⁺y = 3ˣ
الحل :
• خط التقارب الأفقي لهذه الدالة هو y= -2
• لإيجاد تقاطع x، نعوّض بy=0 ثم نحل لإيجاد x.
تقاطع x :
$(- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (3)}, 0)$ ولإيجاد تقاطع y نعوّض بx=0 ثم نحل لإيجاد y.
تقاطع yا : (1-,0).
• إن مجال الدالة y = (1/2)ˣ هو كل الأعداد الحقيقيةl (-∞,∞) , {x|x∈ℝ}
وإن مدى الدالة {l , {y|y>-2
  (∞,2-)
• إنشاء جدول القيم، إختر قيم لx وإستبدل القيم في الدالة وإحسب قيم y.
y x
-5/3 -2
-1 -1
1 0
7 1
25 2

• إرسم بيانياً الأزواج المرتبة وقم بتوصيل النقاط بمنحنى سلس.

الدالة الأسية 2 - ¹⁺y = 3ˣ