الدوال اللوغاريتمية ورسمها البياني

 الرسم البياني للدوال اللوغاريتمية Graphing  Logarithmic Functions

ترتبط الدوال اللوغاريتمية إرتباطاً وثيقاً بالدوال الأسية، وتعتبر معكوس الدوال الأسية. يمكن التعبير عن أي دالة أسية في شكل لوغاريتمي وبالمثل يمكن إعادة كتابة جميع الدوال اللوغاريتمية بالشكل الأسي. في اللوغاريتم نحاول العثور على القوة (الأُس) التي يتم رفعها لرقم ما مما يؤدي إلى رقم معين.  لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد 4³، ونجدها بالشكل 4 × 4 × 4 = 64 باستخدام أساسيات الأسس التي تعلمناها. لكن ماذا لو أردنا معرفة أس العدد 4  ليصبح الناتج 64 ؟  في هذه الحالة، نحتاج إلى معرفة ذلك عن طريق التجربة، إلا أن هذه التقنية ستفشل مع الأعداد الكبيرة، وبالتالي نحتاج إلى الحل عن طريق اللوغاريتم log₄64 = 3. يمكننا أن نكتب 64  =4³ بالشكل log₄ 64= 3   ، بشكل عام، يمكننا أن نكتبها على النحو التالي :

aⁿ = b أو  logₐ b =n

في هذه المقالة سوف نتعرف على تعريف اللوغاريتم، أنواع اللوغاريتمات وخصائصها، مجال ومدى الدالة اللوغاريتمية، والرسم البياني لدالة اللوغاريتم مع الأمثلة بالإضافة إلى تقنيات حل الأسئلة بالتفصيل .

 

تعريف اللوغاريتم 

اللوغاريتم هو طريقة لتحديد القوة التي يتم رفع الرقم إليها والتي تعطي رقمًا معينًا.  بكلمات أبسط، يمكننا القول أنه إذا كان a وb رقمين بحيث يتم رفع "a" إلى قوة معينة تعطي الرقم "b"، فسيتم إستخدام اللوغاريتم للعثور على القوة التي يجب رفع "a" للحصول على "b"  .  غالبًا ما يشار إلى اللوغاريتم على أنه العملية العكسية للأسس.

الدالة اللوغاريتمية Logarithmic Function

الدالة اللوغاريتمية الأساسية هي على الشكل y = f(x) = logₐx ، حيث a > 0 ، وهو معكوس الدالة الأسية 

بعض الأمثلة للدوال اللوغاريتمية : 

1. f(x) = log₂(x+5) - 2
2. y = ln (x-2)
3. g(x) = 2 log x

يمكن حساب بعض قيّم الأسس بسهولة بإستخدام الدوال اللوغاريتمية. إن إيجاد قيمة x في التعبيرات الأسية 2ˣ = 8 و 2ˣ = 16 أمر سهل، ولكن إيجاد قيمة x في 2ˣ =10 أمر صعب. هنا يمكننا إستخدام دوال اللوغاريتم لتحويل (2ˣ =10) إلى صيغة لوغاريتمية بالشكل log₂10 = x  ثم نجد قيمة  x.

صيغة تحويل الدالة الأسية إلى دالة لوغاريتمية هي كما يلي :- 

aˣ = N  دالة أسية ⇐  logₐ N = x دالة لوغاريتمية .

         ↑الأساس (a) يبقى الأساس في كَلا الدالتين↑

في كلا الصيغتين N>0  ، و a>0  و a ≠ 1.

يمكن حساب اللوغاريتمات للأعداد الصحيحة الموجبة والكسور والكسور العشرية، ولا يمكن حسابها للقيم السالبة.

مثال :- أعد كتابة كل معادلة أُسية في صورتها اللوغاريتمية المكافئة لها.

1) 5²= 25            ⇒ log₅25 = 2

2) 4⁻³ = 1/64       ⇒ log₄(1/64) = -3

3) (1/2)⁻⁴ = 16    ⇒ log₍₁/₂₎ 16 = - 4

مثال :- أعد كتابة كل معادلةلوغاريتمية بالصورة الأسية المكافئة لها.

1) log₆ 36 = 2      ⇒  6² = 36

2) logₐ m = x      ⇒  m = aˣ

مثال :- أوجد اللوغاريتمات التالية :-

1) log 100       ⇒ log 100 =x         ⇒ 10ˣ =100

2) log 10.000  ⇒ log 10.000 =x   ⇒ 10ˣ =10.000

3) log 0.1        ⇒ log 0.1 =x          ⇒ 10ˣ = 10⁻¹

4) ln e             ⇒ ln e =x               ⇒  loge

أنواع اللوغاريتمات Logarithm Types 

تُقسَم اللوغاريتمات إعتماداً على القاعدة (الأساس) ، هناك نوعان من اللوغاريتم

- اللوغاريتم المشترك Common Logarithm 

- اللوغاريتم الطبيعي Natural Logarithm

 

اللوغاريتم المشترك Common Logarithm 

يُعرف اللوغاريتم ذو الأساس 10 باللوغاريتم المشترك أو اللوغاريتم العشري. ويكتب بالشكل log₁₀x. يتم كتابة اللوغاريتم المشترك بشكل عام كـ log فقط بدلاً من log₁₀.

1- log10 = log₁₀10 = 1

2- log = log₁₀1 = 0

3- log 1000 = log₁₀1000 = 3

اللوغاريتم الطبيعي Natural Logarithm 

اللوغاريتم ذو الأساس e، حيث e هو ثابت رياضي يسمى اللوغاريتم الطبيعي . ويكتب logₑx.  تتم كتابة اللوغاريتم الطبيعي أيضًا بالشكل المختصر كـ ln أي logₑx = ln x.

1- logₑ2 = x   ⇒ eˣ = 2  

2- logₑ7 = n   ⇒ eⁿ = 7

مجال و مدى الدالة اللوغاريتمية   Domain and Range of Logarithmic Function 

مجال الدالة هو قيمة الإدخال التي تعطي مخرجات لها. يُطلق على المخرجات التي يتم الحصول عليها لمجموعة المجالات التي يتم تعريف الدالة فيها إسم مدى الدالة. كما ذكرنا سابقاً أننا نجد لوغاريتم العدد الموجب فقط، وبالتالي فإن مجال الدالة اللوغاريتمية هو مجموعة من جميع الأعداد الحقيقية غير السالبة (∞، 0). كما لاحظنا أيضًا أن القيمة اللوغاريتمية للدالة اللوغاريتمية هي أرقام موجبة وسالبة.  وبالتالي فإن مدى الدالة اللوغاريتمية هو مجموعة من جميع الأعداد الحقيقية، أي (R).

مثال :- أوجد مجال ومدى الدالة اللوغاريتمية 

f(x) = 2 log (2x - 4) + 5

الحل : لإيجاد المجال إجعل مابين القوسين أكبر من 0 وحل لإيجاد x .

2x - 4 > 0

2x > 4

x > 2

اذن المجال هو (∞,2)

أما مدى الدالة f(x) فهو R.

الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية  Graphing Logarithmic Function

نحن نعلم أن مجال الدالة اللوغاريتمية هو (∞، 0) ومداها عبارة عن مجموعة من جميع الأعداد الحقيقية.  إذا رسمنا الرسم البياني باستخدام مجموعة المجال والمدى نجد أن الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية هو مجرد معكوس الرسم البياني الذي تم الحصول عليه للدالة الأسية. يشير هذا إلى العلاقة العكسية بين الدوال الأسية واللوغاريتمية. كما أن الرسم البياني اللوغاريتمي متناظر حول الخط y = x. نحن نعلم أن قيمة لوغاريتم 1 هي صفر عند أي قيمة أساسية. ومن ثم فهو يحتوي على تقاطع (1,0) على المحور السيني (x-axis) ولا يوجد تقاطع على المحور الصادي (y-axis) حيث أن لوغاريتم 0 قيمة غير معّرفة.

قبل البدء بالرسم البياني للدالة اللوغاريتمية، يجب أن يكون لدينا فكرة عما إذا كان المنحنى متزايد أو متناقص .

• إذا كان الأساس أكبر من 1 فإن المنحنى يتزايد.
• إذا كان الأساس أكبر من 0 وأصغر من 1 فإن المنحنى يتناقص.

خصائص الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية Properties of the graph of a logarithmic function

هناك الخصائص التالية للرسم البياني اللوغاريتمي لدالة logₐx

• أساس الدالة اللوغاريتمية a>0 ، a ≠1 .
• الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية يزيد عندما  a>1 ، وينخفض عندما  a>0 و a<1.
• مجال الدالة هو مجموعة من الأعداد الموجبة الأكبر من الصفر.
• مدى المنحنى هو مجموعة من جميع الأعداد الحقيقية.

فيما يلي خطوات رسم الدوال اللوغاريتمية

1. أوجد المجال والمدى. 
2. أوجد خط المقارب الرأسي (العمودي) وذلك بجعل الوسيطة وهي (القيمة مابين القوسين) تساوي صفراً، لاحظ أن دالة اللوغاريتم لاتحتوي على خط مقارب أفقي.
3. عوّض بعض قيم x التي تجعل (الوسيطة) تساوي 1 وإستخدم خاصية logₐ1=0 وهذا يعطينا تقاطع x ا(x-intercept).
4. عوّض بعض قيّم x التي تجعل (الوسيطة) مساوية للأساس وإستخدم خاصية logₐa=1 وهذا سيعطينا نقطة على الرسم البياني.
5. قم بتوصيل النقطتين (من الخطوتين الأخيرتين) وقم بتحديد المنحنى على كلا الجانبين بالنسبة إلى الخط المقارب العمودي.

الأشكال الأربعة الأساسية للدالة اللوغاريتمية

1) y=log (x)  ،  حيث أنّ كُلاً من x و y موجبة الأشارة

في هذه الحالة رسم الدالة يكون في الربع الأول.

وكما ذكرنا سابقاً أن الدوال اللوغاريتمية هي معكوس الدوال الأسية ، فالدوال الأسية لها خط مقارب أُفقي Horizontal Asymptote، أما الدوال اللوغاريتمية فلها خط مقارب عموديVertical Asymptote.

2) y=log (-x)  ، حيث أنّ x سالبة و y موجبة.

رسم هذه الدالة ينعكس على المحور الصادي (y-axis)، أي أنه سيكون في الربع الثاني.

3) y= - log (x) ،  

إذا كان السالب قبل اللوغاريتم فبدلاً من الإنعكاس حول محور y، فإنه سينعكس حول المحور x، لذاسيكون إتجاه المنحني في الربع الثالث حيث يكون x موجب و y سالب الإشارة.

4) y= - log (-x) ،  

في هذه الحالة حيث أن كلاً من  x و y سالب، فإن المنحني سيكون في الربع الرابع

هنا الإنعكاس سيكون عبر الأصل بالنسبة الى الدالة الاصلية. 

هذه هي الدوال اللوغاريتمية الأربعة الأساسية التي نحن بحاجة لمعرفتها

مثال : إرسم بيانياً الدالة اللوغاريتمية f(x)=2log₃(x+1) 

الحل :

بما أنّ الأساس 3  > 1  فإن المنحنى يتزايد.

- لإيجاد المجال نجعل الوسيطة (مابين القوسين) أكبر من الصفر   

x + 1 > 0

     x > -1 ⇒

لذا فإن المجال = (∞,1-) أو  {x|x>-1}

أما المدى  = R أو (∞, ∞-)

- لإيجاد خط المقارب العمودي نجعل الوسيطة تساوي الصفر

 x + 1 = 0

x = -1

- عند x=0 ا ⇐ f(0) = 2log₃(0+1)

                              2log₃1 =

                                  (0)2 =

                                       0 = 

 - عند x=2 ا ⇐ f(2) = 2log₃(2+1)

                              2log₃3 =

                                  (1)2 =

                                       2 = 

إذا أردنا المزيد من النقاط على الرسم البياني، يمكننا تشكيل جدول قيّم يحتوي على بعض قيّم x العشوائية وعوّض كل منها في الدالة لحساب قيّم y. 

قواعد وخصائص اللوغاريتم Logarithm Rules and Properties

تعتبر خصائص الدالة اللوغاريتمية مفيدة للعمل عبر دوال اللوغاريتمات المعقدة. يتم تحويل كافة العمليات الحسابية العامة عبر الأرقام إلى مجموعة مختلفة من العمليات ضمن اللوغاريتمات.  

توجد ثلاث قواعد لوغاريتمية يمكن إستخدامها لتبسيط صيغ اللوغاريتم. تقوم كل قاعدة بتحويل نوع واحد من العمليات إلى عملية أخرى أبسط. 

1- خاصية الضرب Product Rule 

خاصية الضرب في اللوغاريتمات هو أنّ ناتج لوغاريتم ضرب عددين في بعضهما هو مجموع اللوغاريتم لكل عدد على حِدة لنفس الأساس.

1) log ab = log a + log b

2- خاصية القسمة Division Rule 

خاصية القسمة في اللوغاريتمات هو أنّ ناتج لوغاريتم قسمة عددين  هو  ناتج طرح لوغاريتم كل عدد على حِدة لنفس الأساس.

2) log a/b = log a - log b

3- خاصية تغيير الأساس Change of base Rule 

إنّ خاصية تغيير الأساس يحل مشكلة تغيير الأساس من e إلى 10، ومن الأساس 10 إلى e.  كما أنها تستخدم في حل العديد من المسائل اللوغاريتمية. 

يتم إستخدام خاصية تغيير الأساس لكتابة لوغاريتم رقم بأساس معين كنسبة بين لوغاريتمين لكل منهما نفس الأساس الذي يختلف عن أساس اللوغاريتم الأصلي.  

شكل آخر من هذه الصيغة هو، والذي يستخدم أيضاً على نطاق واسع في حل المشكلات.

مثال 1 :- أحسب قيمة اللوغاريتم 8 log₆₄ بإستخدام خاصية تغيير الأساس.

الحل : سنطبق صيغة تغيير الأساس ، عن طريق تغيير الأساس إلى 10 ، كما ذكرنا سابقاً أن log₁₀ هو نفسه log

log₆₄8 = [log 8] / [log 64 ]

            = [log 8] / [log 8² ]

            = [log 8] / [2 log 8 ] ,  (log aˣ = x log a)

            = 1/2

مثال 2 :- أحسب قيمة اللوغاريتم 

log₃ 2 . log₄ 3 . log₅ 4

الحل : بإستخدام الشكل الأخر لخاصية تغيير الأساس والتي تنص على 

نطبق ذلك مرتين لحساب التعبير المطلوب 

(log₃ 2 . log₄ 3 ). log₅ 4

⤹

log₃ 2 . log₄ 3 =  log₄ 2

log₄ 2 . log₅ 4                        ثم 

= log₅ 2

إذن جواب log₃ 2 . log₄ 3. log₅ 4  هو log₅ 2

من الخصائص الأخرى للوغاريتمات هي

logₐ x = x log a

logₐ 1 = 0

logₐ a = 1

logₐ aˣ = x

مثال  :- أذا كان   log₃ 5≈1.5 و log₃ 3=1 و 0.6 ≈ log₃2 ، قم بتقريب مايلي بإستخدام خصائص اللوغاريتمات.

1) log₃ 10

log₃ 10 = log₃(5.2)

              = log₃ 5 + log₃ 2

              ≈ 1.5 + 0.6

              = 2.1

2) log₃ (5/2)

log₃ (5/2) = log₃ 5 - log₃ 2

                  ≈ 1.5 - 0.6

                  = 0.9

3) log₃ 25

log₃ 25 = log₃ 5²

              = 2 log₃ 5

              ≈ 2(1.5)

              = 3

4) log₃ √5

log₃ √5 = log₃ 5¹/²

              =1/2 log₃ 5

              ≈ 1/2 (1.5)

              = 7.5

5) log₃ (1.5)

log₃ (1.5) = log₃ (3/2)

                  = log₃ 3 - log₃ 2

                  = 1 - 0.6

                  = 0.4

6) log₃ 200

log₃ 200 = log₃ [(2³)(5²)] 

                = log₃ 2³ + log₃ 5²

                = 3 log₃ 2 + 2 log₃ 5

                ≈ 3 (0.6) + 2(1.5)       

                = 1.8 + 3

                = 4.5