الأعداد المُرَكبّة (العُقَدية) Complex Numbers

الأعداد المركبة (العُقدية) complex numbers

الأعداد المركبة أو (العُقدية) هي الإستمرار الطبيعي للأعداد الحقيقية (Real Numbers)، فالأعداد المُركبّة تمنحنا حلولاً لبعض الأنواع من المعادلات التي لا تقبل أية حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية ، فقد وَجَد الرياضيون أن المعادلة (1- =x²) ليس لها حل في مجموعة الأعداد الحقيقية فكان لا بُدَّ من وضع حل لها. لذلك تمّ إيجاد عدد جديد هو العدد التخيلي i. وتعريف العدد i هو الجذر التربيعي للعدد 1-. فالأعداد المُركبة مفيدة في إيجاد الجذر التربيعي للأعداد السالبة. وهي مفيدة أيضاً في العديد من المسائل الرياضية المتقدمة للعديد من العقول الرياضية، وبالتالي حصلت هذه الأعداد على مكانها بين الأعداد وأكملتها.

للأعداد المركبة تطبيقات في العديد من الأبحاث العلمية، ومعالجة الإشارات الرقمية والتشفير، والكهرومغناطيسية، وديناميكيات الموائع، وميكانيكا الكم، وتحليل الاهتزازات. كما و يتم إستخدام الأعداد المركبة في العديد من المجالات المتعلقة بالكمبيوتر.

في هذه المقالة سنتعرف على تعريف الأعداد المُركبة وأنواعها، و الأعداد التخيلية، والعمليات المختلفة على الأعداد المركبة، وخصائص الأعداد المركبة، مع أمثلة متنوعة محلولة.

تعريف العدد المُركب (العُقدي) Complex Numbers

هو رقم، ولكنه يختلف عن الأرقام الشائعة في نواحٍ عديدة. يتكون العدد المُركب من رقمين مجتمعين. الجزء الأول عدد حقيقي (real number)، والجزء الثاني عدد خيالي (imaginary number). يسمى "i " العدد التخيلي ، تم تعريفه على أنه عدد تَربيعَه يكون 1- ، أي أن :
i² = i×i = -1
فالعدد المركب هو مجموع عدد حقيقي وعدد تخيلي. ويكون بالصيغة (a + ib) حيث أن كلاً من aوb أعداداً حقيقية، و" i " هي الجزء التخيلي والذي يمثل ب 1-√ ، ومُرَبعُه يساوي 1- ويُشار للعدد المركب عادةً ب z.

يُطلق على a بالجزء الحقيقي (real part)، ويطلق على b بالجزء التخيلي ( imaginary part) .

Z = a + ib ↷ العدد التخيلي

↓ ↓

الجزء التخيلي الجزء الحقيقي

بعض الأمثلة على الأعداد المركبة هي :

2+3i , -2 - 5i , 1 - i , -1 - i , 1/2+2/3 i

يمكن إجراء العمليات الحسابية مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة على الأعداد المركبة. كما أنها تتبع الخصائص التبادلية والتجميعية ، تمامًا مثل الأعداد الحقيقية ولكنها أيضـاً تتمتع بخصائص أخرى تمكنها من حل كافة المعادلات الجبرية العادية التي يصعب حلها باستخدام الأعداد الحقيقية فقط.

تعريف القوة "i"

يُشار إلى "i" بأنه الوحدة التخيلية للعدد المركب. ويتم تعريفه على أنه الجذر التربيعي لـ 1-. دعونا نحاول أن نفهم المزيد عن القوى المتزايدة لـ i.

i = √-1
i² = -1
i³ = i.i² = i(-1) = - i
i⁴ = (i²)² = (-1)² = 1

مُرافق العدد المُركب (العُقَدي) Conjugate of a Complex Number

يتم تكوين مُرافق العدد المُركب عن طريق أخذ نفس الجزء الحقيقي من العدد المركب وتغيير الجزء التخيلي من العدد المركب إلى معكوسه الجمعي.

فمُرافق العدد المركب (𝑖 ا𝑥 + 𝑦) هو العدد المركب (𝑖 ا𝑥 - 𝑦) . يُرمز لمرافق العدد المركب $z$ بالرمز ${\bar {z}}$ .

- مجموع العدد المُركب ومُرافقه هو عدد حقيقي

$z$ + ${\bar {z}}$

- وحاصل ضرب العدد المُركب ومُرافقه هو عدد حقيقي

$z$ . ${\bar {z}}$

- مرافق مرافق عدد مركب ما تعطي العدد ذاته : ${\bar {\bar {z}}}=z$ .

- عند ضرب عدد مركب في مرافقه يكون الناتج عدداً حقيقياً.

- عند إضافة عدد مركب إلى مرافقه يكون الناتج عدداً حقيقياً.

العمليات على الأعداد المُركبة Operations on Complex Numbers

يُمكن إجراء العمليات المختلفة من جمع وطرح وضرب وقسمة للأعداد الطبيعية على الأعداد المركبة أيضًا. تفاصيل العمليات الحسابية المختلفة للأعداد المركبة هي كما يلي.

1) جمع الأعداد المُركَبه Addition of Complex Numbers

يمكننا جمع عددين مُركبين، وذلك ببساطة عن طريق جمع أجزائهما الحقيقية والتخيلية بشكل منفصل. فلو كان لدينا العددين المُركبين

z₁ + z₂ = (a+c)+ i (b+d) فإن حاصل جمع العددين المُركبين z₂=c+id و z₁=a+ib

مثال :

(3 + 2i) + (1 + 4i) = 4 + 6i

الأعداد المُركبة تتبع جميع خَصائص الجمع التالية:

1) مجموعة الأعداد المركبة مغلقة تحت عملية الجمع، حيث أن مجموع عددين مُركبين هو أيضاً عدد مركب.

2) الخاصية التبادلية Commutative property

لكل عددين مركبين z₁ و z₂ فإن z₁+z₂ = z₂+z₁

3) الخاصية التجميعية Associative property

لكل من الأعداد المركبة الثلاثة z₁ و z₂ و z₃ فإن ₃اz₁+(z₂+z₃) = (z₁+z₂)+z

4) النظير الجمعي Additive Inverse

ليكن z عدد مركب حيث z=a+bi ،يوجد عدد مركب آخر وليكن z- حيث z=-a-bi- فإن

z+(-z)=(-z)+z=0 ، حيث أن z- هو النظير الجمعي.

5) العنصر المحايد الجمعي Additive Identity

يرمز له بالرمز e ويعرف كالتالي e =0= 0+0i

2) طرح الأعداد المُركَبه Subtraction of Complex Numbers

يمكننا طرح عددين مُركبين، وذلك ببساطة عن طريق طرح أجزائهما الحقيقية والتخيلية بشكل منفصل. فلو كان لدينا العددين المُركبين

z₁ - z₂ = (a-c)+ i (b-d) فإن حاصل طرح العددين المُركبين z₂= c + id و z₁= a + ib

مثال :
(3 + 2i) - (1 + 4i) = 2 - 2iعدل

3) ضرب الأعداد المُركَبه Multiplication of Complex Numbers

يختلف ضرب الأعداد المُركبة قليلًا عن ضرب الأعداد الطبيعية، يُمكننا ضرب عددين مركبين بإستخدام خاصية التوزيع ، هنا نحتاج إلى إستخدام صيغة 1- = i². فلو كان لدينا العددين المُركبين

z₁ . z₂ = (ca-bd)+i (ad+bc) فإن حاصل ضرب العددين المُركبين z₂=c+id و z₁=a+ib

مثال :

(3 + 2i) . (1 + 4i) = (3(1) - 2(4)) +i (3(4) + 2(1))

= (3-8) +i(12+2)

= -5 + 14i

الأعداد المُركبة تتبع جميع خَصائص الضرب التالية:

1) الخاصية الإبدالية Commutative property

لكل عددين مُركبين z₁ و z₂ فإن z₁× z₂ = z₂× z₁

2) الخاصية التجميعية Associative property

لكل من الأعداد المُركبة الثلاثة z₁ و z₂ و z₃ فإن ₃اz₁×(z₂×z₃) = (z₁×z₂)×z

3) النظير الضربي Multiplicative Inverse

ليكن z عدد مركب حيث z=a+bi ،يوجد عدد مركب آخر وليكن zا/1 هو النظير الضربي للعدد المركبz. بحيث أن z.(1/z) = 1

4) العنصر المحايد الضربي Multiplicative Identity

وهو(iا0 + 1) = 1

4) قسمة الأعداد المُركَبه Division of Complex Numbers

تُعد قسمة عددين مركبين أكثر تعقيدًا من الجمع والطرح والضرب لأننا لا نستطيع القسمة على رقم تخيلي (وهمي)، مما يعني أن أي كسر يجب أن يكون له مقام عدد حقيقي. لذا علينا حذف الجزء التخيلي من المقام، من خلال العثور على حد يمكننا من خلاله ضرب البسط والمقام لكي نحصل في النهاية على عدد حقيقي باعتباره المقام. ويسمى هذا الحد المرافق المركب للمقام، والذي يتم إيجاده عن طريق تغيير إشارة الجزء التخيلي من العدد المركب.

لنفترض أننا نريد قسمة عدد مُركب وليكن (c+di) على عدد مركب آخر(a+ib)،حيث 0≠aوb≠0 وذلك عن طريق ضرب كل من البسط والمقام في المُرافق المركب للمقام وهو (a-bi) وتبسيط التعبير بشكل أكبر.

(c+di) / (a+bi)

بضرب البسط والمقام في المرافق المركب للمقام (a-bi)

= (c+di) . (a-bi) / (a+bi) . (a-bi)

تطبيق خاصية التوزيع

= (ca - cbi + adi - bdi²) / (a² - abi + abi - b²i²)

i² = -1

= (ca - cbi + adi - bd(-1)) / (a² - abi + abi - b²(-1))

= (ca + bd) + (ad - cb) i / a² + b²

مثال : ماهو ناتج قسمة العددين المركبين (i4 +ا1) / (3 + 2i)

الحل :

مُرافق المقام هو (i4 -ا1)، سنقوم بضرب كلاً من البسط والمقام بالعدد المرافق

(3 + 2i) / (1 + 4i) = (3 + 2i) . (1 - 4i) / (1 + 4i) . (1 - 4i)

= (3(1) -2(-4)) + i (3(-4)+ 2(1)) / (1(1) -(4(-4)) +i (-4(1)+4(1))

= ((3+8)+i(-12+2)) / (1+16)+i(-4+4)

= 11 - 10 i / 17 +0i

= (11 - 10i) / 17

أشكال مختلفة من الأعداد المركبة Different Forms of Complex Numbers

هناك صيّغ مختلفة من الأعداد المركبة:

الصيغة القياسية Standard Form
الصيغة الأُسية Exponential Form
الصيغة القُطبيه Polar Form

الصيغة القياسية (الصيغة الجبرية) : وتتمثل بالصيغة (a +bi) حيث أن كلاً من a وb أعداداً حقيقية ، فالعدد المركب z يكتب جبرياً z = a + ib ، مثال:

(-3-4i) , (-2i) , (-2+3i)

الصيغة القُطبية : الصيغة القطبية أو (المثلثية) هي طريقة أُخرى لتمثيل الأعداد المركبة في الإحداثيات القطبية.

يتم تمثيل الصيغة القطبية للعدد المركب من حيث معامل أو(مقياس) r ووسيط(سعة) θ العدد المركب [ يتم تمثيل الإحداثيات كـ (r، θ)، حيث r هي المسافة من نقطة الأصل و θ هي الزاوية بين الخط الواصل بين النقطة و نقطة الأصل ومحور x الموجب] . لذا فإن أي عدد مركب يمثل بالصيغة القطبية ب

z = r [cos θ + i sin θ] r = |z| =√ a² +b²

cosθ = x/r = x/|z|

sinθ = y/r = y/|z|

مثال : [cos π/6 + i sin π/6]5 عدد مركب بالصيغة القطبية

الصيغة الأسية : بعد أن ناقشنا الصورة القطبية (المثلثية) للعدد المركب، يمكن تقديم الصورة البديلة الثانية للعدد المركب. وهو التمثيل المختلف للصيغة القطبية باستخدام صيغة أويلر في هذه الصيغة يتم تمثيل العدد المركب بواسطة reiθ حيث r هي مسافة النقطة من نقطة الأصل و θ هي الزاوية بين المحور السيني الموجب ومتجه نصف القطر.

تُستخدم صيغة أويلر في التحليل المعقد لتحديد العلاقة بين الدوال المثلثية والدوال الأسية المعقدة. و صيغة أويلر لأي عدد مركب يمكن كتابتها على النحو التالي: e^ix= cos x + i sin x

هنا، cos وsin هما دوال مثلثية، حيث cosx هو الجزء الحقيقي ويتم تمثيله بالنسبة للمحور x (السيني)، sinx هو الجزء التخيلي الذي يتم تمثيله بالنسبة للمحور y (الصادي).اi هي الوحدة التخيلية، وe هو أساس اللوغاريتم الطبيعي.

الرسم البياني للأعداد المركبة Graphing of Complex Numbers

يمكن تمثيل الأعداد المركبة عن طريق رسمها على المستوى الإحداثي البياني ذي البعدين؛ أي باستخدام المحورين السيني، والصادي؛ حيث يتم تمثيل الجزء المتعلق بالعدد التخيلي من العدد المركب على المحور الصادي y (أي المحور العمودي)، والجزء المتعلق بالعدد الحقيقي على المحور السيني x (أي المحور الأفقي)، لتتشكل لدينا مجموعة من النقاط في المستوى، وكل نقطة منها تشير إلى عدد مركب معين.

هنالك مصطلحين مهمين متعلقين بتمثيل الأعداد المُركبة علينا فهمها وهما معامل ووسيطة العدد المركب.

فمعامل (مقياس) العدد المركب Modulus of Complex Number هو القيمة المطلقة ويمثل المسافة بين نقطة الأصل والنقطة المحددة. فلو فرضنا العدد المركب z =a+ib فإن معامل z هو

|z| = √(a²+b²)

حيث :

- a هو الجزء الحقيقي للعدد المركب z.

- b هو الجزء التخيلي للعدد المركب z.

وسيطة(سعة) العدد المركب Argument of Complex Number : تسمى الزاوية بين متجه نصف القطر لعدد مركب ومحور x الموجب وسيطة أو سعة العدد المُركب. فلو فرضنا العدد المركب z =a+ib فإن وسيطة z هو (Ө =tan⁻¹ b/a

حيث :

- a هو الجزء الحقيقي للعدد المركب z.

- b هو الجزء التخيلي للعدد المركب z.

مثال 1 : جد ناتج العددين المُركبين z₁ = -2 + i و z₂= 1 - 2i

الحل :-

z₁ + z₂ = (-2 + i) + (1 - 2i)

= (-2 + 1) + (1 - 2)i

= -1 - i

مثال 2 : جد ناتج طرح العددين المُركبين z₁ = -2 + i و z₂= 1 - 2i

الحل :

z₁ - z₂ = (-2 + i) - (1 - 2i)

= (-2 - 1) + (1 +2 )i

= -3 + 3i

مثال 3 : جد حاصل ضرب العددين المُركبين z₁ = -2 + i و z₂= 1 - 2i

الحل :

z₁ . z₂ = (-2 + i)(1 - 2i)

= -2 + 4i + i - 2i²

= -2 - 2(-1) + 5i

= 5i

مثال 4 : جد قسمة العددين المُكبين z₁ = -2 + i و z₂= 1 - 2i

الحل :

z₁ / z₂ = (-2 + i) / (1 - 2i)

= (-2 + i) (1 + 2i) / (1 - 2i) (1 + 2i)

= - 2 - 4i + i + 2i² / 1 + 2i - 2i - 4i²

= - 2 - 3i - 2 / 1 + 4

= (- 4 - 3i) / 5

= - 4/5 - 3/5 i

مثال 5 : جد ناتج مايلي ²(iا+ 1)+ ²(iا - 1)

(1 + i )² + (1 - i )² = (1 + 2i +i² ) (1 - 2i + i² )

= 2i + (-2i)

= 0

مثال 6 : جد ناتج مايلي ²(4iا+ 3)

(3 + 4i)² = (3 + 4i) + (3 + 4i)

= (9 - 16) + (12 + 12)I

= -7 + 24i

مثال 7 : جد النظير الضربي للعدد z = 2 - 2i

الحل :

النظير الضربي للعدد z هو zا/1

1/z = 1 / 2-2i

= 1 . (2+2i) / (2-2i) . (2+2i)

= 2+2i / 4+4

= 2+2i / 8

= 1/4 + 1/4 i

مثال 8 : إذا كان i / iا2-3 و a-bi/1+5i مُترافقان، جد قيمة a و b

الحل. :

3-2i / i = a - bi / 1 + 5i

3-2i / i = a + bi / 1 - 5i

ai + bi² = 3 - 15i - 2i + 10i²

ai - b = -7 - 17i

a = -17

b = 7

مثال 9 : حلل العدد 53 إلى حاصل ضرب عاملين في صورة x+yi.

الحل :

53 = 4 + 49

= 4 - 49i²

= (2-7i)(2+7i)

أو

53 = 49 + 4

= 49 - 4i²

= (7-2i)(7+2i)

مثال 10 :جد كلاً من معامل(مقياس) ووسيطة(سعة) العدد المُركب

z = 1 - √3i

الحل :

r =|z| = √(a²+b²)

= √1+3

= 2

cosθ = x/|z|

= 1/2

sinθ = y/|z|

= - √3/2

θ = π/3 السعة في الربع الأول

مثال 11 : أكتب العدد المُركب الآتي بالصيغة القطبية

z = 2√3 - 2i

z = |z| = √ a²+b²

= √ 12+4

= √ 16 = 4

cos ፀ = a /|z|

= 2√3 / 4

= √3 / 2

sin ፀ = b /|z|

= -2 /4

= -1/2

θ تقع في الربع الرابع

θ = 2π - π/6

= 11π/6

الصيغة القطبية للعدد المركب هي

z = 4(cos 11π/6 + i sin11π/6)

أكاد806يمي

القائمة الرئيسية

الصفحات

الأعداد المركبة (العُقدية) complex numbers تعريفها، خصائصها وصيغها مع الرسم البياني مع أمثلة

الأعداد المُرَكبّة (العُقَدية) Complex Numbers

تعريف العدد المُركب (العُقدي) Complex Numbers

تعريف القوة "i"

مُرافق العدد المُركب (العُقَدي) Conjugate of a Complex Number

يتم تكوين مُرافق العدد المُركب عن طريق أخذ نفس الجزء الحقيقي من العدد المركب وتغيير الجزء التخيلي من العدد المركب إلى معكوسه الجمعي.

العمليات على الأعداد المُركبة Operations on Complex Numbers

يُمكن إجراء العمليات المختلفة من جمع وطرح وضرب وقسمة للأعداد الطبيعية على الأعداد المركبة أيضًا. تفاصيل العمليات الحسابية المختلفة للأعداد المركبة هي كما يلي.

أشكال مختلفة من الأعداد المركبة Different Forms of Complex Numbers

الصيغة القياسية (الصيغة الجبرية) : وتتمثل بالصيغة (a +bi) حيث أن كلاً من a وb أعداداً حقيقية ، فالعدد المركب z يكتب جبرياً z = a + ib ، مثال:

الرسم البياني للأعداد المركبة Graphing of Complex Numbers

أخر المواضيع من قسم : الجبر

تعليقات

إرسال تعليق