القطوع المخروطية Conic Sections

القطوع المخروطية 

يتولد المخروط الدائري القائم من دوران المثلث القائم الزاوية دورة كاملة حول أحد الضلعين القائمين كمحور الدوران. أو من دوران مستقيم حول محور ثابت وبزاوية ثابتة بين المستقيم والمحور. (حيث أن محور المخروط الدائري القائم هو قطعة المستقيم المحدد بالرأس ومركز القاعدة أما المُوّلِد فهو قطعة  المستقيم  المحددة بالرأس وإحدى نقط محيط القاعدة). 

في هذه المقالة سنتعرف على مفهوم القطوع المخروطية، أنواعها، صيّغ القطوع المخروطية، معادلات  القطوع المخروطية و طُرق التعرف على القطوع المخروطية بالتفصيل مع أمثلة وحلول. 

القطوع المخروطية  Conic Sections 

تُعتبر القطوع المخروطية مفاهيم رياضية مهمة، فعندما يَقطع المستوى المخروط الدائري القائم في أماكن مختلفة يؤدي إلى إنشاء أنواع مختلفة من المنحنيات والتي تُعرف بإسم القطوع المخروطية. 

للقطوع المخروطية تطبيقات عديدة في العلوم والتكنولوجيا. بما في ذلك علم الفلك والبصريات وكذلك في الهندسة المعمارية.

تعريف القطوع المخروطية   Definition of  Conic Sections

هي المنحنيات التي يتم الحصول عليها عند تقاطع المستوى والمخروط. وبتقاطع المستوى مع المخروط يمكننا الحصول على أربعة أشكال مختلفة من القطوع المخروطية إعتماداً على الزوايا المختلفة التي  يتقاطع فيها المستوى مع المخروط. يتميز كل نوع من أنواع هذه القطوع بخصائص مختلفة عن النوع الآخر إلا أن جميعها تشترك في صفة واحدة مشتركة وهي أن مستوى القطع لايمر برأس المخروط الدائري،

وهذه الأشكال هي الدائرة circle، القطع المكافئ parabola، القطع الناقص ellips، والقطع الزائد hyperbola.

فإذا قُطع سَطح المخروط الدائري القائم 

أولاً : بمستوٍُ عمودي على المحور وليكن L و يوازي القاعدة، أي بزاوية قائمة (90°) ولا يحتوي على الرأس S فإن القطع الناتج هو الدائرة (Circle).

ثانياً : بمستوٍّ موازٍ لِأحد مولداته فإن القطع الناتج يسمى القطع المكافئ (Parabola).

ثالثاً : بمستوٍّ غير موازٍ لقاعِدته ولا يوازي أحد مولداته، أي بزاوية أقل من (90°) فإن القطع الناتج يُسمى القطع الناقص (Ellips).

رابعاً : بمستوٍ يوازي محور L ويقطع مولدين من مولدات المخروط الدائري القائم فإن القطع الناتج هو القطع الزائد (Hyperbola).

اقرأ أيضا: القطع الزائد Hyperbola 

اقرأ أيضا: القطع الناقص "Ellipse" تعريفه، معادلاته القياسية، خصائصه وصيغه مع أمثلة

اقرأ أيضا: القطع المكافئ parabola تعريفه،أنواعه وخصائصه

أنواع القطوع المخروطية Types of Conic Sections

عند تقاطع المستوى مع المخروط نحصل على أنواع مختلفة من القطوع لمخروطية. ويمكن التعبير عن أنواع القطع المختلفة بإستخدام المعادلات الرياضية التي تعبر عنها. وكما ذكرنا سابقاً هنالك أربعة أنواع عامة من القطوع المخروطية وهي :

- الدائرة Circle : هي مقطع مخروطي وهي نوع خاص من القطع الناقص حيث يكون مستوى القطع موازياً لقاعدة المخروط. فمجموعة النقاط الموجودة على الدائرة تبعد مسافة متساوية عن نقطة ثابتة بؤرة الدائرة أو (مركزها) تسمى نصف قطر الدائرة.

المعادلة العامة للدائرة هي 

(x - h)² + (y - k)² = r²

(h,k) تمثل مركز الدائرة و r نصف قطر الدائرة.

- القطع المكافئ Parabola : هو مقطع مخروطي له شكل حرف U، يتم إنشاء القطع المكافئ عند قَطع مستوى سطح مخروط موازٍ لخط المُولّد، كما يمكن تعريف القطع المكافئ على أنه مجموعة من جميع النقاط التي تكون بُعدَها عن نقطة ثابتة تسمى البؤرة (focus) مساوية للمسافة من خط ثابت يسمى الدليل (directrix). النقطة التي تقع في منتصف المسافة بين البؤرة والدليل تسمى رأس القطع المكافئ (vertex).

المعادلة العامة للقطع المكافئ هي :

(x - h)² = 4p(y - k)       للقطع المكافئ الذي يفتح للأعلى أو للأسفل

(y - k)² = 4p(x - h)         للقطع المكافئ الذي يفتح لليمين أو لليسار

(h,k) تمثل قمة رأس القطع vertex

P المسافة بين الرأس(vertex) والبؤرة(focus) أو بين الرأس والدليل (directrix)

- القطع الناقص Ellips : هو مقطع مخروطي يتشكّل عند تقاطع مخروط دائري قائم ومستوى غير موازٍ للقاعدة أو المحور أو أحد عناصر المخروط. ويُمَثل موضع النقاط التي يكون مجموع مسافاتها من نقطتين ثابتتين (البؤرتين) قيمة ثابتة. يحتوي القطع الناقص على بؤرتين، دليلين، محور رئيسي (Major axis) ومحور ثانوي (Minor axis) ، وطول البؤرة هو c²=a²-b² . الشكل العام لمعادلة القطع الناقص الذي مركزه (h, k) وطول المحورين الرئيسي والثانوي هو "2a" و"2b" على التوالي هو. 

(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1

 

- القطع الزائد Hyperbola : القطع الزائد عبارة عن مقطع مخروطي يتكون من تقاطع مخروط دائري قائم مع مستوى بزاوية بحيث يُشّكل منحنيين غير محدودين وهما صورتان متطابقتان لبعضهما البعض. فالقطع الزائد يشبه زوجًا متطابقًا من القطوع المكافئة يتجه للخارج في إتجاهين متعاكسين. يقع المركز على مسافة متساوية من قمتي (vertices) الفروع، وتسمى المسافة بين رؤوس الفرعين بالمحور العرضي(transverse axis). أما المحور المرافق (conjugate axis) فيكون عمودي عليه. تساعد هذه المحاور أيضًا في تحديد الخطوط المقاربة المائلة التي تُشكل شكل القطع المكافئ. وطول البؤرة هو c²=a²+b²

كما يمكن تعريفه بأنه موضع من النقاط التي يكون إختلاف المسافات بين بؤرتين قيمة ثابتة دائمًا. يحتوي القطع الزائد على بؤرتين ، دليلين، محور عرضي ومحور مرافق.

المعادلة العامة للقطع الزائد هي: 

(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1      للقطع الزائد الذي يفتح يمينًا أو يسارًا

(y - k)²/a² - (x - h)²/b² = 1  للقطع الزائد الذي يفتح للأعلى أو للأسفل

(h,k) تمثل مركز القطع.

المحور العرضي = 2a ، المحور المرافق = 2b

عوامل القطع المخروطي Conic Section Parameters

بعد أن عرفنا كيفية بناء المقاطع المخروطية الثلاثة، علينا أن نتعلم ماهي العوامل أو الأجزاء المشتركة بينها. حيث سيبدو كل شكل مخروطي مختلفًا عن الآخر، لكنه لا يزال يشترك في الأجزاء المشتركة التي يمكن إستخدامها للتعرف عليها، مثل البؤرة Focus ، والدليل Directrix ، والإنحراف المركزي Eccentricity.

يُعد كُلاً من البؤرة والدليل والإنحراف المركزي ثلاث ميزات أو عوامل مهمة تحدد الشكل المخروطي. الأشكال المخروطية المختلفة هي القطع الناقص (الدائرة حالة خاصة منه)، القطع المكافئ و القطع الزائد. ويعتمد كل شكل من هذه الأشكال الهندسية وإتجاهها بشكل كامل على هذه الميزات الثلاث المهمة. أدناه سنقوم بتوضيح كل واحد منها بالتفصيل .

1) البؤرة Focus : بؤرة القطع المخروطي هي النقطة (النقاط) التي يتم إنشاء القطع المخروطي حولها. وتستخدم لتحديد القطع المخروطي المتنوع. تساعد البؤرة جنبًا إلى جنب مع الدليل، في تحديد الإنحراف المركزي والانحناء للقسم المخروطي. تختلف بؤرة القطع المخروطي بإختلاف القطوع المخروطية، فالقطع المكافئ له بؤرة واحده، في حين أن القطع الناقص و القطع الزائد لهما بؤرتان.

2) الدليل Directrix : يسمى الخط المستقيم الموجود في القطع المخروطي المتعامد مع محور  المخروط  المشار إليه بدليل المخروط. وهو الخط الذي نستخدمه لإنشاء قطع مخروطي معين.

يكون الدليل المخروطي موازياً للمحور المرافق والمستقيم العرضي المخروطي. يختلف الدليل بإختلاف القطوع  المخروطية. فالدائرة لا تحتوي على دليل، والقطع المكافئ له دليل واحد، أما القطع الناقص و القطع الزائد لكل منهما دليلان.

 3) الإنحراف المركزي Eccentricity : الإنحراف المركزي للقطع المخروطي هو النسبة الثابتة بين مسافة نقطة تقع على القطع المخروطي والبؤرة ومسافة النقطة والدليل. يرمز للإنحراف المركزي بالحرف e وهو عدد حقيقي غير سالب. فلو كانت النقطة (x,y) على القطع المخروطي، عندئذٍ المسافة بين (x,y) و البؤرة (x₁,y₁) هي :

= √ (x-x₁)² + (y-y₁)²

والبُعد بين النقطة (x,y) والدليل ax+by+c=0 هو :

= |ax+by+c|/ √(a²+b²)

وبحسب تعريف القطع المخروطي فإن e هو  النسبة بين المسافتين ، أي أن

e =  √ (x-x₁)² + (y-y₁)² / [|ax+by+c|/ √(a²+b²)]

⇒ √ (x-x₁)² + (y-y₁)² = e .|ax+by+c|/ √(a²+b²)

بتربيع الطرفين نحصل على 

 (x-x₁)² + (y-y₁)² = e² . (ax+by+c)² / a²+b²

وهي معادلة القطع المخرطي العامة.

إذا كان هناك قطعان مخروطيان لهما نفس الإنحراف فسيكونان متشابهين ومع زيادة ألإنحراف ينحرف القطع المخروطي أكثر فأكثر عن شكل الدائرة. قيمة الإنحراف المركزي لمختلف القطوع المخروطية هي :

▪︎ عندما  e=0 فإن القطع المخروطي هو الدائرة. 

▪︎ عندما  e<1 و e≥0  فإن القطع المخروطي هو قطع ناقص.

▪︎ عندما e=1 فإن القطع المخروطي هو قطع مكافئ.

▪︎ عندما e>1 فإن القطع المخروطي هو قطع زائد.

صيغ القطوع المخروطية Conic Sections Formulas

1) صيغة الدائرة 

(x - h)² + (y - k)² =  r²        [r ونصف القطر (h,k) المركز ]  

2) صيغة القطع الناقص 

(x - h)² /a²  + (y - k)²/b²   = 1     [(h,k)  المركز هو] , 2a=المحور الرئيسي

                                                                                     2b = المحور الصغير

3) صيغة القطع الزائد 

(x - h)² /a²  - (y - k)²/b²   = 1     [(h,k) المركز هو],   2a=المحور العرضي

                                                                                     2b=المحور المرافق

4) صيغة القطع المكافئ 

(y - k)²  = 4p (x - h)     , p≠0.    [(h,k)نقطة قمة الرأس]

مصطلحات القطوع المخروطية

سنتعرف في هذه الفقرة بإيجاز عن بعض المصطلحات المتعلقة بالقطوع المخروطية

1- المحور الرئيسي Principal Axis :

الخط الذي يمر عبر مركز و بؤرة القطع المخروطي يسمى بالمحور الرئيسي للمخروط.

2- المحور المرافق Conjugate Axis :

هو المحور المتعامد مع المحور الرئيسي ويمر بمركز المخروط. أو هو القطعة المستقيمة المرتبطة بالقطع الزائد بطول 2b الذي تكون نقطة منتصفه هي المركز. ويُسمى أيضًا بالمحور الأصغر Minor axis.

3- المركز Center :

يُعَرف مركز المخروط بأنه نقطة تقاطع المحور الرئيسي والمحور المرافق للمخروط.

4- قمة الرأس Vertex :

تسمى النقطة على المحور الرئيسي حيث يتقاطع المخروط مع المحور تعرف برأس المخروط.

5- الوتر  البؤري Focal Chord :

الوتر البؤري للمخروط هو الوتر الذي يمر عبر بؤرة القطع المخروطي. ويتقاطع مع القطع المخروطي في نقطتين متميزتين.

6- المسافة البؤرية Focal Distance :

المسافة البؤرية هي مسافة نقطة على المخروط من أي بؤرة من البؤر. بالنسبة إلى القطع الناقص والقطع الزائد، التي لها بؤرتان، هناك مسافتان بؤريتان.

7- المستقيم العرضي  Latus Rectum :
المستقيم العرضي هو خط يمر عبر بؤرة المخروط ويوازي دليل المخروط. المستقيم العرضي هو أيضًا الوتر البؤري المتعامد مع محور المخروط. يحتوي القطع المكافئ على مستقيم عرضي واحد، لكن القطع الناقص والقطع الزائد لهما مستقيمان عرضيان لأنه يحتوي على بؤرتين.

8- المحور العرضي Transverse Axis 

هو قطعة مستقيمة تمر عبر مركز القطع الزائد ولها رؤوس كنقاط نهاية لها. تقع البؤر على الخط الذي يحتوي على المحور العرضي.

9- الدليل Directrix :

هو الخط الذي تكون المسافة من أي نقطة على المخروط نسبة ثابتة مع المسافة بين تلك النقطة والبؤرة. وهو خط ثابت متعامد مع محور القطع المخروطي، يتم إستخدام الدليل في تحديد القطع المخروطي. 

10- ألإنحراف المركزي Eccentricity

 هو نسبة المسافة من أي نقطة على المقطع المخروطي إلى البؤرة إلى المسافة العمودية من تلك النقطة إلى أقرب دليل. بالنسبة لأي قطع مخروطي، فإن انحراف القطع المخروطي هو مسافة أي نقطة على المنحنى إلى بؤرته ÷ مسافة نفس النقطة إلى دليلها = الانحراف المركزي. والذي يُشار إليه بالرمز e.

11- المحور الكبير Major axis

هو قطعة مستقيمة متعامدة مع دليل القطع الناقص وتمر عبر البؤرتين الذي تكون نقاط نهايته هي القمم التي يبلغ طولها 2a وينتهي الجزء الخطي على القطع الناقص في كلا الطرفين؛ نصف المحور الرئيسي بين المركز والرأس هو المحور شبه الرئيسي.

12- المحور الصغير Minor axis

هي قطعة مستقيمة متعامدة مع المحور الرئيسي للقطع الناقص وتنصفه ويبلغ طوله 2b؛ وينتهي المقطع على القطع الناقص في كلا الطرفين؛  نصف المحور الأصغر بين المركز والقطع الناقص هو المحور شبه الأصغر.

13- قمة الرأس Vertex

 بالنسبة للقطع المكافئ، النقطة في منتصف المسافة بين البؤرة والدليل.  بالنسبة للقطع الناقص، إحدى النقطتين حيث يتقاطع الخط الذي يحتوي على البؤرتين مع القطع الناقص. بالنسبة للقطع الزائد، إحدى النقطتين اللتين يتقاطع عندهما الخط الذي يحتوي على البؤر مع القطع الزائد.

كيفية التعرف على القطع المخروطي من المعادلة العامة

يمكن تحديد القطع المخروطي بناءً على معاملات المعادلة، فجميع القطوع المخروطية تنشأ من نفس المعادلة العامة: Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0، حيث أن A,B,C,D,E,F ثوابت وهي أعداد حقيقية، يعتمد القطع المخروطي الموصوف على قيمة كل ثابت وما إذا كان موجبًا أم سالبًا، لذا يمكن تحديد نوع المخروط الذي تمثله المعادلة المعطاة بشكل عام من خلال مقارنة قيم المعاملين A وC من المعادلة. حيث A معامل x² و C معامل y².

الطريقة 1 : إستخدام معاملات المعادلات

• إذا كانت A وC غير صفرية ومتساوية، وكلاهما نفس الإشارة وأن تكون كل من x و y تربيع فإن القطع سيكون دائرة.

• إذا كانت A وC غير صفرية وغير متساوية، ولها نفس الإشارة وأن تكون كل من x و y تربيع  فإن القطع سيكون قطع ناقص.

• إذا كانت A أو C تساوي صفرًا، وأن تكون إما x أو y تربيع وليس كليهما، فإن القطع سيكون قطع مكافئ. 

• إذا كانت A وC لهما إشارات مختلفة وليست صفراً، وأن تكون كل من x و y تربيع فإن القطع سيكون قطع زائد.

مثال 1 : حدد نوع المقطع المخروطي الذي تمثله المعادلة  3x² +3y² +4x - 12 = 0

الحل :-

حدد قيمتي A وC من المعادلة بشكل عام.

A معامل x² ، في هذا المثال A=3

C معامل y² ، في هذا المثال C=3

بما أن A=C وكلاهما نفس الإشارة ، وكما أن كلاً من xوy تربيعيه ، ستمثل المعادلة الرسم البياني للدائرة.

مثال 2: حدد نوع المقطع المخروطي الذي تمثله المعادلة  y² = 4 (x+2y) 

الحل :

يمكن إعادة كتابة المعادلة بشكل عام على النحو التالي:

y² = 4x +8y

y² - 4x - 8y =0

الان نحدد قيمتي A وC من المعادلة بشكل عام

A معامل x² ، في هذا المثال A=0 ، لأنه لايوجد الحد الجبري x² 

C معامل y² ، في هذا المثال C=1

حدد المقطع المخروطي الذي تمثله المعادلة بناءً على قيمتي A وC.

لأن A=0 ، فإن المعادلة ستمثل الرسم البياني للقطع المكافئ.

الطريقة 2 : إستخدام المميز  

- بإستخدام المعاملات على وجه الخصوص A وBو C، يمكننا التعرف على القطوع المخروطية فوراً من خلال إيجاد قيمة المميز (Discriminant) B² - 4Ac

- إذا كانت قيمة المميز 0 > B² - 4Ac ، فإن المخروط هو قطع ناقص ( أو دائرة عندما a=b).

- إذا كانت قيمة المميز 0 = B² - 4Ac ، فإن المخروط هو قطع مكافئ.

- إذا كانت قيمة المميز 0 < B² - 4Ac ، فإن المخروط هو قطع زائد.

 تحديد القطع المخروطي بناءً على الإنحراف المركزي

•  عندما  e=0 فإن القطع المخروطي هو الدائرة. 
•  عندما  e<1 و e≥0  فإن القطع المخروطي هو قطع ناقص.
•  عندما e=1 فإن القطع المخروطي هو قطع مكافئ.
•  عندما e>1 فإن القطع المخروطي هو قطع زائد.

أمثلة : 

مثال 1 : أوجد معادلة القطع الناقص الذي بؤرته (3,0) وقمة الرأس (4,0) المركز في (0,0) .

الحل :-

ومن النقاط المعطاة، يمكننا أن نرى 

c=3 و a=4 وبإستخدام الصيغة

b² = a² - c² نحصل على 

b² = 16 - 9 = 7 

نكتب معادلة المقطع المخروطي للقطع الناقص:

x²/a² + y²/b² = 1

x²/16 + y²/7  = 1

وهي معادلة القطع الناقص

مثال 2 : أوجد معادلة الدائرة التي مركزها (0,0)  ونصف قطرها 5

الحل :-

إن صيغة معادلة الدائرة هي

(x - h)² + (y - k)² =  r²

الان نعوّض بالقيم الموجودة في الصيغة حيث h=0 وk=0 ، r=5

(x - 0)²  + (y - 0)²  = 5² 

x²  + y² = 25

مثال 3 : ضع المعادلة التالية x² - 4x - 8y + 12 = 0 في الشكل القياسي ، ثم إرسم القطع المكافئ الناتج رسمًا بيانيًا   

الحل :- 

أولاً سنجعل المعادلة في الصورة القياسية، والأن بما أن y غير مربع في هذه المعادلة، فإننا نعلم أن القطع المكافئ يفتح إما لأعلى أو لأسفل. لذا نحن بحاجة إلى حل هذه المعادلة لـ y

،للقيام بذلك، نقوم بإضافة 8y إلى طرفي المعادلة:

8y = x² - 4x + 12

الخطوة التالية هي إكمال المربع الموجود على الطرف الأيمن. وذلك بتجميع أول حدين على الطرف الأيمن باستخدام الأقواس.

8y = (x² - 4x) + 12

نقوم بتحديد الثابت الذي عند إضافته داخل القوسين، يجعل الكمية الموجودة داخل القوسين ثلاثية الحدود مربعة كاملة. لفعل ذلك نأخذ نصف معامل x ومن ثم تربيعه. هذا يعطي ²(2/ا4-) = 4 ، نضيف 4 داخل القوسين ونطرح 4 خارج القوسين حتى لا تتغير قيمة المعادلة:

8y = (x² - 4x +4) + 12 - 4

الآن نجمع الحدود المتشابهة ونقوم بتحليل الكمية الموجودة داخل القوسين

8y = (x - 2)² + 8

نقسم الطرفين على 8

y = 1/8 (x - 2)² + 1

أصبحت الآن المعادلة في الشكل القياسي. وبمقارنة هذا بالمعادلة 

                                                                                                                     y = a(x - h)² + k

لذا فأن h=2 ، k=1 و p=2 ، القطع المكافئ مفتوح للأعلى، ورأسه عند (1ا,2) وبؤرة عند (3ا,2) والدليل y = -1 .

مثال 4 : ضع المعادلة التالية 9x² + 4y² - 36x + 24y + 36 = 0  في الشكل القياسي ، ثم إرسم القطع الناقص الناتج رسمًا بيانيًا   

الحل :-

أولًا اطرح 36 من طرفي المعادلة:

9x² + 4y² - 36x + 24y = - 36

تجميع الحدود المتشابهة وإخراج العامل المشترك

(9x² - 36x) + (4y² + 24y) = - 36

9 ( x² - 4x) + 4 ( y² + 6y) = - 36

علينا تحديد الثابت الذي عند إضافته داخل كل قوس ينتج عنه مربع كامل في المجموعة الأولى من الأقواس خذ نصف معامل x وقم بتربيعه.

في المجموعة الثانية من الأقواس خذ نصف معامل y وقم بتربيعه.

أضف هذه داخل كل زوج من الأقواس. بما أن المجموعة الأولى من الأقواس تحتوي على 9 في  المقدمة فإننا في الواقع نضيف 36 إلى الجانب الأيسر. 

وبالمثل سنضيف 36 إلى المجموعة الثانية أيضًا.  فتصبح  المعادلة:

9 ( x² - 4x + 4) + 4 ( y² + 6y + 9) = - 36 + 36 + 36

9 ( x² - 4x + 4) + 4 ( y² + 6y + 9) = 36

9 (x - 2)² + 4(y + 3)² = 36

9 (x - 2)² / 36 + 4(y + 3)² / 36 = 1

(x - 2)² / 4 + (y + 3)² / 9 = 1

المعادلة الأن في الشكل القياسي ، بمقارنتها بالمعادلة 

(x-h)²/b² +(y-k)²/a² =1

وبالتالي فإن h=2  k=-3  a=3 b=2 المحور الرئيسي 6 والمحور المرافق  4