القطع الزائد Hyperbola

 القطع الزائد

القطع الزائد في الهندسة التحليلية هو مقطع مخروطي يتكون من تقاطع مخروط دائري قائم مع مستوى بزاوية بحيث يتقاطع نصفا المخروط. ينتج عن هذا التقاطع منحنيين على شكل حرف U منفصلين غير محدودين يمثلان صورتين متطابقتين لبعضهما البعض. فهو منحنى سلس في مستوى به فرعين يعكسان بعضهما البعض، ويشبهان قوسين لانهائيين. 

في هذه المقالة سنناقش تعريف القطع الزائد، ونتعرف على الصيغ والأشكال القياسية المختلفة لمعادلة القطع الزائد، أجزاء وخصائص والرسوم البيانية للقطع الزائد ، مع أمثلة محلوله بالتفصيل.

تعريف القطع الزائد  Hyperbola Definition 

هو مجموعة جميع النقاط في المستوى التي يكون فرق المسافات بين نقطتين ثابتتين قيمة ثابتة، النقطتان هما بؤرتا القطع الزائد. ويتم الحصول على الفرق عن طريق طرح مسافة البؤرة الأقرب من مسافة البؤرة الأبعد. فلو كانت P(x,y) نقطة على القطع الزائد وأن Fو`F بؤرتين، فإن منحنى القطع الزائد 

|PF -PF`| = 2a

حيث أن 2a عدداً ثابتاً ويمثل طول المحور الحقيقي للقطع الزائد الذي تقع عليه البؤرتين والرأسين.

 PF و`PF يمثلان طولي نصفي القطرين البؤرتين المرسومين من نقطة P .

المسافة F`F هي البُعد بين البؤرتين وتساوي 2c .

2b يُمثل طول المحور المرافق وهو المحور العمودي على المحور الحقيقي والمار بمركز القطع.

 حيث أن للقطع الزائد محورين من التماثل، يسمى المحور الموجود على طول الإتجاه الذي يفتحه القطع الزائد بالمحور العرضي Transverse axis، يمر المحور المرافق Conjugate Axis عبر مركز القطع الزائد ويكون عمودياً على المحور العرضي. 

اقرأ أيضا: القطوع المخروطية Conic Sections 

أجزاء القطع الزائد  Parts of Hyperbola    

سنتطرق هنا إلى بعض المصطلحات المتعلقة بالمعادلات المختلفة للقطع الزائد 

1) بؤرة القطع الزائد: القطع الزائد له بؤرتان وإحداثياتهما (0,c)F و (0,c-)`F.

2) مركز القطع الزائد: تسمى نقطة منتصف الخط الواصل بين البؤرتين بمركز القطع الزائد. 

3) المحور الحقيقي: طول المحور الحقيقي للقطع الزائد هو 2a وحدة. 

4) المحور الصغير: طول المحور الصغير للقطع الزائد هو 2b وحدة. 

5) القمم أو الرؤوس : النقاط التي يتقاطع فيها القطع الزائد مع المحور تُسمى القمم أو الرؤوس، ورؤوس القطع الزائد هي (0,a)،(a,o-).

6) المستقيم العرضي للقطع الزائد: المستقيم العرضي هو خط مرسوم عمودياً على المحور العرضي (Transverse axis) للقطع الزائد ويمر عبر أي من بؤر القطع الزائد، طول المستقيم العرضي للقطع الزائد هو 2b²/a.

7) المحور العرضي: الخط الذي يمر عبر البؤرتين و مركز القطع الزائد يسمى المحور العرضي للقطع الزائد. 

8) المحور المرافق: الخط الذي يمر عبر مركز القطع الزائد، والمتعامد مع المحور العرضي يسمى بالمحور المرافق للقطع الزائد. 

9) الإنحراف المركزي (e>1): هو نسبة مسافة البؤرة من مركز القطع الزائد، ومسافة الرأس من مركز القطع الزائد.  مسافة البؤرة هي وحدات c ومسافة الرأس هي وحدات a وبالتالي فإن الإنحراف هو 

e = c/a.

معادلات القطع الزائد  Hyperbola Equations 

المعادلة أدناه تمثل الشكل العام لمعادلة العامة للقطع الزائد. المحور x هو المحور العرضي للقطع الزائد،  والمحور y هو المحور المرافق للقطع الزائد.  

x²/a² - y²/b² = 1

 

الصيغة القياسية لمعادلة القطع الزائد Standard Equation of Hyperbola 

للقطع الزائد معادلتان قياسيتان، تعتمد هذه المعادلات على المحور العرضي والمحور المرافق لكل من القطع الزائد 

- المعادلة القياسية للقطع الزائد x²/a² - y²/b² = 1 ، حيث المحور x هو المحور العرضي والمحور y هو المحور المرافق. 

- المعادلة القياسية للقطع الزائد y²/a² - x²/b² = 1 ، حيث المحور y المحور العرضي والمحور x هو المحور المرافق. 

- المعادلة القياسية للقطع الزائد مع المركز (h,k) : 

(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1

والمحور x كمحور عرضي والمحور y كمحور مرافق. 

- معادلة قياسية أخرى للقطع الزائد مع المركز (h,k): 

(y-k)²/a² - (x-h)²/b² = 1

 والمحور y كمحور عرضي والمحور x كمحور مرافق. 

صيغة القطع الزائد Hyperbola  Formula 

تساعدنا صيغة القطع الزائد في العثور على معلمات مختلفة وأجزاء ذات صلة بالقطع الزائد مثل معادلة القطع الزائد، المحور الحقيقي والمحور الصغير Major & Minor Axis، الإنحراف المركزي Eccentricity، الخطوط المقاربة Asymptotes، الرأس Vertex، البؤر Foci والمستقيم شبه العرضي Semi-Latus Rectum. 

    

- معادلة القطع الزائد: من المهم لنا أن نأخذ في الإعتبار أربعة نماذج قياسية عند التعامل مع القطع الزائد ومعادلاته. فالعوامل المؤثرة على شكل معادلة القطع الزائد هي:

▪︎ مركز القطع الزائد يؤثر على معادلته.

▪︎ إتجاه الرسم البياني .

¤ صيغة القطع الزائد

1. الصيغة القياسية للقطع الزائد الذي مركزه(0,0) نقطة الأصل. 

        

                                                             

2. الصيغة القياسية للقطع الزائد الذي مركزه (h,k) . 

¤ صيغة بؤرة القطع الزائد

تعتمد البؤرة على قيم المقام من معادلة القطع الزائد ، c²=a²+b² وهذا يعني أنه يمكن إيجاد مسافة البؤرتين من المركز عن طريق جمع المقامات ثم أخذ الجذر التربيعي للمجموع.

 

¤ صيغة الخطوط المقاربة للقطع الزائد

القطوع الزائدة لها زوج من الخطوط المقاربة التي لها شكل عام من y=mx+b ، هذا يعني أننا نبحث عن معادلتين خطيتين عند إيجاد خطوط التقارب للقطع الزائد. 

تعتمد معادلات الخطوط المتقاربة على الجذور التربيعية للمقامات. يمكن أيضاً إيجاد معادلة القطع الزائد التي مركزها (h,k).

¤ صيغة الرؤوس أو القمم للقطع الزائد

رؤوس القطع الزائد هي النقطتان اللتان توضحان الحد الأدنى والحد الأقصى للقيم الممكنه للحدالرئيسي. بغض النظر عن موقع المركز،  فإن مسافة الرؤوس من المركز تعتمد على المقام الأول.

الرسم البياني للقطع الزائد Graph of Hyperbola 

بعد أن فهمنا الأشكال العامة للقطع الزائد وتعلمنا كيفية العثور على مكوناتها، حان الوقت لنتعلم كيفية رسم القطع الزائد بيانيًا .

فالقطع الزائد يتكون من منحنيين غير محدودين وهما صورتان متطابقتان لبعضهما البعض. لكل منهما قمة و بؤرة، محور عرضي للقطع الزائد والمحور المرافق للقطع الزائد يكون متعامداً عليه. 

فيما يلي أربعة رسوم بيانية، والتي يمكننا ملاحظة الأجزاء المختلفة لمعادلة القطع الزائد في الرسوم البيانية في الشكل أدناه: 

معادلة القطع الزائد x²/a² - y²/b² = 1
عند المركز (0,0)

- إحداثيات المركز (0,0)، إحداثيات الرأس (a,0)،(a,0-) ، إحداثيات البؤرة (c,0)،(c,0-) ، طول المحور العرضي =2a ، طول المحور المرافق=2b ، معادلات الخطوط المقاربة: y = (b/a) x و y = -(b/a) x

معادلة القطع الزائد y²/a² - x²/b² = 1
عند المركز (0,0)

- إحداثيات المركز (0,0)، إحداثيات الرأس (aا,0)،(a-ا,0) ، إحداثيات البؤر (cا,0)،(c-ا,0) ، طول المحور العرضي=2b ،طول المحور المرافق=2a ،معادلات الخطوط المقاربة:y = (a/b) x و y = -(a/b) x

• إذا كانت بؤرتا القطع الزائد تقع على المحور السيني x، فالشكل القياسي للقطع الزائد يكون:

(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1

• إذا كانت بؤرتا القطع الزائد تقع على المحور الصادي y، فالشكل القياسي للقطع الزائد يكون:

(y-k)²/a² - (x-h)²/b² = 1

معادلة القطع الزائد x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1)
عند المركز (h,k)

- إحداثيات المركز (h,k)، إحداثيات الرؤوس(h+a,k)،(h-a,k)، إحداثيات البؤر (h+c,k)،(h-c,k), منحدرات الخطوط المقاربة:  (hا-y-k = ±(b/a)(x

معادلة القطع الزائد y-k)²/a² - (x-h)²/b² = 1)
عند المركز (h,k)

- إحداثيات المركز (h,k)، إحداثيات الرؤوس(h,k+a)،(h,k-a),إحداثيات البؤر (h,k+c),(h,k-c), منحدرات الخطوط المتقاربة: (hا-y-k = ±(a/b)(x

فيما يلي ست خطوات للمساعدة في رسم القطع الزائد بيانيًا.

1) تحديد موقع ورسم مركز القطع الزائد.

2) تحديد موقع ورسم رؤوس وبؤر القطع الزائد.

3) إذا كان ممكنًا، إرسم تقاطعاته أيضًا للحصول على نقاط إرشادية إضافية.

4) ابحث عن الخطوط المقاربة وقدمها كخطوط متقطعة.

5) تحديد موقع ورسم رؤوس وبؤر القطع الزائد.

6) ارسم فرعي القطع الزائد باستخدام الرؤوس والخطوط المقاربة كدليل.

خصائص القطع الزائد  Hyperbolic properties

الخصائص التالية المتعلقة بمفاهيم مختلفة تساعد في فهم القطع الزائد بشكل أفضل 

1. إذا كان الإنحراف المركزي للقطع الزائد ومُرافقه هو e₁ و e₂ فإن 

(1/e₁²) + (1/e₂²) = 1

2. بؤر القطع الزائد ومُرافقه تكون دائرية وتُشكل رؤوس المربع.

3. القطوع الزائدة متساوية إذا كان لديهم نفس المستقيم العرضي. 

4. الخطوط المتقاربة Asymptotes: هي زوج من الخطوط المستقيمة المرسومة بالتوازي مع القطع الزائد ويفترض أنها تلامس القطع الزائد عند اللانهايه.  معادلات الخطوط المقاربة للقطع الزائد هي:

y = (b/a)x و y = - (b/a)x

5. القطع الزائد المستطيل Rectangular Hyperbola : القطع الزائد له المحور العرضي والمحور المرافق لهما نفس الطول يسمى القطع الزائد المستطيل ، 2a=2b أو a=b ، لذا فإن معادلة معادلة القطع الزائد المستطيل هي x² - y² = a².

أمثلة على القطع الزائد 

مثال1 :- لتكن معادلة القطع الزائد   1= [4²  /²(2-y)] - [6²ا/²(x-5)] ، إستخدم صيغ القطع الزائد للعثور على طول المحور الحقيقي (الكبير) والمحور الصغير.

الحل :-

صيغة القطع الزائد لطول المحور الكبير(الحقيقي) والصغير هي 

طول المحور الحقيقي(الكبير) = 2a 

= 2.6

= 12 

طول المحور الصغير = 2b

= 2.4

= 8

 ∴ طول المحور الحقيقي 12وحدة ، وطول المحور الصغير 8 وحدة.

مثال2 :- إرسم القطع الزائد x²/16 - y²/25 = 1،  ثم أوجد مركزه ، ورؤوسه، وبؤره ومعادلاته والخطوط المقاربة 

الحل :-

القطع الزائد الذي مركزه (0,0)، ومحوره العرضي يقع على طول المحور السيني x. 

a² = 16 ⇒ |a|= 4

b² = 25 ⇒ |b|= 5

c² = a² + b²

c = √a²+b²

   = √16+25

   = √41

|c| = √41

رؤوس القطع الزائد : (0,4)،(-0,4)

بؤرتا القطع الزائد  :  ( √41 , 0)،(- √41 , 0)

معادلات الخطوط المقاربة: y= ± (5/4)x

الرسم البياني لمعادلة القطع الزائد x²/16 - y²/25 = 1،  موضحة فيها المركز، البؤر، القمم أو الرؤوس، الخطوط المقاربة. 

مثال 3 :- إرسم القطع الزائد y²/4 - x²/9 = 1 وأوجد مركزه ورؤوسه وبؤره ومعادلات الخطوط المقاربة.

الحل :

القطع الزائد مركزه عند (0، 0) ومحوره العرضي على طول المحور الصادي y.

a² = 4 ⇒ |a|= 2

b² = 9 ⇒ |b|= 3

c² = a² + b²

c = √a²+b²

   = √4+9

   = √13

|c| = √13

رؤوس القطع الزائد : (2,0)،(2,0-)

بؤرتا القطع الزائد  : (0, √13)،(0, √13-)

معادلات الخطوط المقاربة: y= ± (2/3)x

الرسم البياني لمعادلة القطع الزائد y²/4 - x²/9 = 1 ، موضحة فيها المركز، البؤر، القمم أو الرؤوس، الخطوط المقاربة. 

 

مثال4:- اكتب معادلة القطع بالصورة القياسية، ،بمعلومية البورتان و رؤوس القطع الزائد التالية

بؤرتا القطع الزائد: (2√10 ,0)،(- 2√10 , 0)

رؤوس القطع الزائد  : (0,6)،(-0,6)

نلاحظ أن كلاً من البؤرتان و رؤوس القطع تقع على المحور السيني x،  لذا فإن معادلة القطع الزائد  هي 

x²/a² - y²/b² = 1

حيث أن الرؤوس هي (0,6)،(-0,6) لذا فإن

a = 6 ⇒ a² = 36

وأن البؤرتان هي (2√10 ,0)،(- 2√10 , 0)، لذا فإن 

c = 2√10 ⇒ c² = 40

لإيجاد قيمة b من المعادلة c²=a²+b²

b²=c²-a²

= 40 - 36 ⇐b²ا= 4.

وبعد إيجاد قيم a² و b² نعوضها في الصيغة القياسية 

x²/36 - y²/4 = 1

.