القطع الناقص "Ellipse" تعريفه، معادلاته القياسية، خصائصه وصيغه مع أمثلة

 القطع الناقص

يعتبر القطع الناقص جزءاً لا يتجزأ من القطوع المخروطية، ويشبه في خصائصه الدائرة. وعلى عكس الدائرة، فالقطع الناقص له شكل بيضوي وهو ثنائي الأبعاد محدد على طول محاوره، يتشّكل القطع الناقص عند تقاطع المخروط مع مستوى بزاوية بالنسبة إلى قاعدته، كما أنه المحل الهندسي لجميع النقاط في المستوى بحيث يكون مجموع المسافات من نقطتين ثابتتين في المستوى قيمة ثابتة دائمًا، تُعَرف النقاط الثابتة التي يحيط بها المنحنى ببؤرتا القطع الناقص، له إنحراف مركزي أقل من واحد، والخط الثابت هو الدليل. من الأمثلة البسيطة على القطع الناقص في حياتنا اليومية، الشكل الثنائي الأبعاد للبيضة ومسارات الجري في الساحات الرياضية ومن التطبيقات العلمية مدارات جميع الكواكب حول الشمس تتبع مسار القطع الناقص،  صناعة العدسات المحدبة والمقعّرة للكاميرات، و التلسكوبات. 

في هذه المقالة سنتعرف على القطع الناقص والصور القياسية المختلفة لمعادلات القطع الناقص بالتفصيل مع أمثلة. 

أقرأ أيضًا: القطوع المخروطية Conic Sections 

تعريف القطع الناقص  Definition of Ellipse

يُعّرف القطع الناقص بأنه منحنى مغلق متماثل بالنسبة إلى محورين متعامدين، وهو أحد القطوع المخروطية ناتج عن تقاطع مخروط مع مستوى غير ماوزٍ للقاعدة أو المحور أو أحد عناصر المخروط ولا يتقاطع مع قاعدة المخروط. ويمكن تعريفه على إنه مجموعة جميع النقاط في المستوى بحيث يكون مجموع المسافات من أي نقطة على المنحنى إلى نقطتين ثابتتين تُسمى (البؤرتين) ثابتاً. تُسمى نقطة منتصف القطعة التي تربط البؤرتين بمركز القطع الناقص. للقطع الناقص محورين من التماثل، يُسمى المحور الأطول بالمحور الكبير Major Axis ويُسمى المحور الأصغر بالمحور الصغير Minor Axis.

يتقاطع المحوران في مركز القطع الناقص.

ملاحظة :- عند كتابة القطع الناقص بالصيغة القياسية، يتم تحديد إتجاه المحور الكبير من خلال المتغير الذي له المقام الأكبر، المحور الكبير إما يقع على طول محور ذلك المتغير أو يكون موازياً لمحور ذلك المتغير.

مثال : أوجد التقاطعات الكبيرة وطول المحور الكبير، والتقاطعات الصغيرة وطول المحور الصغير و أوجد البؤرتين لمعادلة القطع الناقص x²/4 + y²/9 = 1 ، ثم إرسم القطع الناقص.

الحل :- بما أن المقام الأكبر يقع مع المتغير y فإن المحور الكبير يقع على طول المحور y.

           إذن  9 = a²  ، 

             ⇐  a = 3

                  4 = b²

             ⇐  b = 2 

التقاطعات الكبيرة = (0,3)، (3-,o)

طول المحور الكبير =2a

                           = 2.3 = 6

التقاطعات الصغيرة (2,0)،(2,0-)

طول المحور الصغير = 2b

                             = 2.2 = 4

c² = a² - b²

    c² = 9 - 4

        5  =

البؤر هي :

                                                                                                                      (0,√5) , (0,-√5)

أجزاء القطع الناقص Parts of an Ellipse

قبل الحديث عن معادلات القطع الناقص، سنتعرف على بعض المصطلحات المتعلقة بأجزاء مختلفة من القطع الناقص. 

● البؤرة Focus 

للقطع الناقص بؤرتان، إحداثياتهما هي (c,0)f  و (c,0-)`f ، المسافة بين البؤرتين تساوي 2c

● المركز Center 

مركز القطع الناقص هو نقطة إلتقاء المحاور الكبرى والصغرى. ويُعَرّف أيضاً بنقطة منتصف الخط الواصل بين البؤرتين بمركز القطع الناقص. ويرمز له  (h,k)

● المحور الكبير  Major Axis 

المحور الكبير هو المحور ذو القُطر الأطول للقطع الناقص، ويرمز له بالحرف 'a' يبلغ طول المحور الكبير للقطع الناقص 2a وحدة، و رؤوس نهاية هذا المحور الكبير (a,0) ،(a,0-).

● المحور الصغير  Minor Axis 

هو المحور ذو القُطر الأصغر للقطع الناقص، ويرمز له بالحرف 'b' يبلغ طول المحور الصغير للقطع الناقص 2b وحدة، و رؤوس نهاية هذا المحور الصغير (bا,0) ، (bا-,0) .

● المحور المرافق  Conjugate Axis 

يُسمى الخط الذي يمر بمركز القطع الناقص و متعامد مع المحور العرضي و يقع عند نقطة متساوية البُعد عن البؤرتين بالمحور المرافق. 

● المحور العرضي  Latus Rectum 

هو المحور الذي يمر عبر منتصف القطع الناقص و بين بؤرتيه يُعرّف بالمحور العرضي. 

● الإنحراف المركزي Eccentricity

هو نسبة مسافة البؤرة من مركز القطع الناقص إلى مسافة أحد طرفي المحور الأكبر للقطع الناقص،  فإذا كانت مسافة البؤرة من مركز القطع الناقص هي c ومسافة نهاية المحور الأكبر من المركز هي a فإن الإنحراف المركزي e يساوي c/a .

إن الإنحراف المركزي للقطع الناقص أقل من واحد. (e<1) وأكبر من الصفر. 

● المستقيم العرضي للقطع الناقص

الخط المرسوم بشكل عمودي على المحور العرضي للقطع الناقص ويمر ببؤرتي القطع الناقص. 

صيغة طول المستقيم العرضي للقطع الناقص هو 2b²/a.

معادلات القطع الناقص  Equations of an Ellipse

معادلة صيغة القطع الناقص تساعد في تمثيل القطع الناقص في الصورة الجبرية. صيغ معادلات القطع الناقص هي :- 

■ معادلة القطع الناقص ومركزه  (0,0) هي : x²/a² + y²/b² = 1

■ معادلة القطع الناقص ومركزه  (h,k) هي :

                                                      (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1

المعادلة القياسية للقطع الناقص Standard Equation of Ellipse

للقطع الناقص معادلتين قياسيتين، تعتمد هذه المعادلات على المحور العرضي والمحور المرافق لكل شكل بيضوي.  

- المعادلة القياسية للقطع الناقص الذي مركزه (0,0) ومحوره الكبير على طول المحور السيني هي :       x²/a² + y²/b² = 1 ، وأنّ (a²>b²)  يحتوي على المحور العرضي كمحور x والمحور المرافق كمحور y.

- المعادلة القياسية للقطع الناقص الذي مركزه (0,0) ومحوره الكبير على طول المحور الصادي هي   x²/b² + y²/a² = 1 ، وأن (a²<b²) يحتوي على المحور العرضي كمحور y والمحور المرافق كمحور x.

الصورة أدناه  توضيحية للشكلين القياسيين للقطع الناقص 

مثال :- أوجد طولي المحور الأكبر والمحور الأصغر للمعادلة 7x2+3y2= 21

الحل :-

بقسمة الطرفين المعادلةعلى 21 نحصل على

x²/3 + y²/7 = 1

نعلم أن المعادلة القياسية للقطع الناقص هي 

x²/b² + y²/a² = 1

بما أن البؤر تقع على المحور y بالنسبة للمعادلة أعلاه، يتمركز القطع الناقص عند نقطة الأصل والمحور الكببر على المحور y

b² =3

b = √3

a² = 7

a = √7 لذا فان

طول المحور الكبير = 2a 

  2√7

طول المحور الصغير = 2b

2√5

صيغ القطع الناقص  Ellipse Formulas

هناك صيغ مختلفة مرتبطة بالشكل البيضوي، فالقطع الناقص يشبه إلى حد ما الدائرة الممتده على طول قطرها وهو شكل ثنائي الأبعاد، يمكن إستخدام صيغ القطع الناقص هذه لحساب المحيط والمساحة والمعادلة والمعلمات الأخرى بسهولة.

صيغة محيط القطع الناقص : يتم تعريف محيط القطع الناقص على أنه الطول الإجمال لحدوده، يمكن حساب محيط القطع الناقص بإستخدام الصيغة العامة التالية 

 2π √ (a²+b²)/2

صيغة مساحة القطع الناقص : إنها المساحة الإجمالية أو المنطقة التي يغطيها القطع الناقص في بعدين، ويمكن حساب مساحة القطع الناقص بإستخدام الصيغة العامة التالية 

  abπ  

خصائص القطع الناقص Properties of an Ellipse 

هناك خصائص مختلفة تساعد في تمييز الشكل الناقص عن الأشكال الاُخرى المشابهة وهي:-

▪ يتم إنشاء القطع الناقص عن طريق تقاطع مستوى مع مخروط بزاوية قاعدته.

▪ تحتوي جميع الأشكال البيضوية على بؤرتين أو نقطتين محوريتين، و أن مجموع المسافات من أي             نقطة على القطع الناقص إلى النقطتين البؤريتين قيمة ثابتة.

▪ قيمة الإنحراف المركزي للقطع الناقص أقل من واحد.

▪ يحتوي الشكل البيضوي على محور كبير ومحور صغير ومركز.

▪ يُشار إلى المسافة الثابتة بإسم الدليل.

الرسم البياني للقطع الناقص Graphing Ellipse 

لنلقي نظرة على تمثيل القطع الناقص بيانياً بإستخدام صيغة القطع الناقص، هناك خطوات معينة يجب إتباعها لرسم القطع الناقص في المستوى الديكارتي

1) التقاطع مع محاور الإحداثيات: يتقاطع القطع الناقص مع المحور السيني(x-axis) في النقاط (a,0)،       (a,0-) ومع المحور الصادي (y-axis) في النقاط 0b)(0,b),(0,-b)

2) رؤوس القطع الناقص هي (a,0)،(a,0-) و (bا,0),(bا-,0).

3) ولكون القطع الناقص متماثل حول محاور الإحداثيات، فإن القطع الناقص له بؤرتان (0,c)،(ا0,c-)          والدليلين d و `d الذين معادلاتهم هي x = a/e و x = -a/e و مركز القطع الناقص0 لذا فهو مخروط       مركزي.

4) طول المحور الكبير = 2a وطول المحور الصغير = 2b.

5) القطع الناقص هو منحنى مغلق يقع بالكامل داخل المستطيل الذي يحده الخطوط الأربعةx=±a ,   y=±b.

مثال :- أوجد معادلة القطع الناقص الذي محوره الأكبر على طول المحور السيني ويمر بالنقاط (3,1-) ، (2-,2).

الحل :- 

بما أن النقطتين  (3,1-) ، (2-,2). تقع على القطع الناقص x²/a² + y²/b² = 1

9/a² + 1/b² = 1    و  

4/a² + 4/b² = 1

سنحل هذه المعادلات في وقت واحد

a² = 32/3 

و b² = 32/5

إذن معادلة القطع الناقص هي 

x² / 32/3 + y² / 32/5 = 1

إذن معادلة القطع الناقص هي  3x²  + 5y²  = 32

مثال :- أوجد أطوال المحاور الكبرى والصغرى للقطع الناقص x² /20 + y² /16 = 1

الحل :- 

معادلة القطع الناقص x² /20 + y² /16 = 1 ،وبمقارنتها مع الصيغة القياسية لمعادلة القطع الناقص x²/a² + y²/b² = 1

a²= 20 

b² = 16

طول المحور الكبير = 2a 

                           = 10

طول المحور الصغير = 2b

                             = 8

مثال :- أوجد مساحة القطع الناقص الذي طول محوريه الكبير والصغير 14  و8  على التوالي.

الحل :- 

لإيجاد مساحة القطع الناقص 

2a = 14

a = 7

2b = 8

b = 4

وبتطبيق صيغة القطع الناقص ، فإنمساحة القطع الناقص = abπ

= 7.4.π 

= 28π 

إذن مساحة القطع الناقص 28π