القطع المكافئ parabola تعريفه،أنواعه وخصائصه

 القطع المكافئ   

القطع المكافئ هو أحد القطوع المخروطية، ينتج عن تقاطع المستوى و المخروط. وهو منحنى على شكل حرف U يمكن أن يكون مقعراً لأعلى أو لأسفل، إعتماداً على المعادلة. للقطع المكافئ خصائص مختلفة مثل قمة رأس القطع المكافئ Vertex، البؤرة Focus، محور التماثل Axis of Symmetry، المستقيم العرضي Latus Rectum، والدليل  Directrix.
تُستخدم المنحنيات المكافئة على نطاق واسع في العديد من المجالات مثل علوم الكومبيوتر والفيزياء والهندسة.

في هذه المقالة سنتعرف على مفهوم القطع المكافئ، أنواعه، خصائصه، ومعادلاته، سنتعرف أيضاً على أشكال القطوع المكافئة والرسم البياني له، وبعض المصطلحات الهامة المتعلقة بالقطع المكافئ.

اقرأ أيضا: القطوع المخروطية Conic Sections 

تعريف القطع  المكافئ Definition of Parabola 

هو منحنى على شكل حرف U، وهو مجموعة النقاط في المستوى التي تكون على مسافة متساوية من نقطة ثابتة تسمى البؤرة Focus و خط مستقيم ثابت يسمى الدليل Directrix. ويُعَد كلاً من البؤرة والدليل عنصرين أساسيين يحددان شكل القطع المكافئ وموضعه. تُسمى نقطة منتصف القطعة المتعامدة من البؤرة إلى الدليل بقمة رأس القطع  الكافئ Vertex ويُسمى الخط الذي يمر عبر قمة الرأس والبؤرة بمحور التماثل Axis of Symmetry.

أنواع القطع المكافئ

هناك نوعان رئيسيان من القطع المكافئ، تلك التي تكون مقعرة للأعلى أو للأسفل:

1- معادلة رياضية ذات الصيغة y = ax²+bx+c حيث a>0، يُعّرف ب قطع مكافئ المفتوح أو المُقعّر للأعلى، الرسم البياني لهذه المعادلة عبارة عن قطع مكافئ بفتحة للأعلى وقمة رأس عند أسفل المنحنى.

2- معادلة رياضية ذات الصيغة y = ax²+bx+c حيث a<0, يُعّرف ب قطع مكافئ المفتوح أو المُقعّر للأسفل، الرسم البياني لهذه المعادلة عبارة عن قطع مكافئ بفتحة للأسفل، حيث تكون أعلى نقطة على المنحنى بمثابة رأس(قمة) القطع المكافئ.

المعادلة القياسية للقطع المكافئ Standard Equation of Parabola 

المعادلة القياسية للقطع المكافئ هي y² = 4ax ، في هذه الصيغة يكون الدليل موازياً للمحور الصادي y. أما إذا كان الدليل موازياً للمحور السيني x ، فإن المعادلة القياسية للقطع المكافئ هي x² = 4ay .

إذا تم رسم القطوع المكافئة في أرباع متبادلة، فستكون معادلاتها على النحو التالي:- 

الأشكال القياسية الأربعة للقطع المكافئ

المعادلات العامة للقطع المكافئ  General Equations of Parabola

المعادلة العامة للقطع المكافئ هي  y = a(x-h)² + k أو x = a(y-k)² + h، حيث (h,k) تُشير إلى رأس أو قمة القطع المكافئ.

خصائص القطع المكافئ Properties of Parabola

1- محور التماثل أو التناظر Axis of Symmetry:- يُعّرف الخط الذي يُقّسم القطع المكافئ إلى نصفين متماثلين بمحور التماثل، الدليل ومحور التماثل متعامدان دائماً، محور التماثل يمُر عبر البؤرة.

2- قمة الرأس Vertex :- النقطة التي يتقاطع فيها القطع المكافئ مع محور التماثل تسمى قمة الرأس. فهي أعلى أو أدنى نقطة في القطع المكافئ. قمة القطع المكافئ هي النقطة الأقرب إلى البؤرة. 

3- البُعد البؤري Focal Length :- المسافة بين قمة الرأس والبؤرة تسمى البُعد البؤري. جميع القطوع المكافئة التي لها نفس البُعد البؤري متشابهة. 

4- الدليل Directrix :- هو الخط المرسوم عمودياً على محور القاعدة. وهو الخط الثابت الذي تقع منه أي نقطة على القطع المكافئ على نفس مسافة البؤرة ، يكون الدليل دائمًا متعامداً مع محور القطع المكافئ.

مصطلحات هامة تتعلق بالقطع المكافئ

1- البؤرة Focus :- بؤرة القطع المكافئ هي نقطة ثابتة في الجزء الداخلي من القطع المكافئ المستخدم في التعريف الرسمي للمنحنى ، تقع بؤرة القطع المكافئ على محور القطع المكافئ. إذا كانت معادلة القطع المكافئ y=a(x-h)²+k و النقطة (h,k) هي رأس القطع فإن البؤرة هي (h,k+1/4a). للبؤرة تطبيقات مختلفة في الحياة الواقعية.

2- ألإنحراف المركزي Eccentricity :- يتم تعريف الانحراف المركزي على أنه نسبة المسافة من أي نقطة على المقطع المخروطي إلى البؤرة إلى المسافة العمودية من تلك النقطة إلى أقرب دليل، ألإنحراف المركزي للقطع المكافئ =1.

3- المستقيم العرضي The Latus Rectum :- المستقيم العرضي هو جزء من القطع المكافئ الذي يمر عبر البؤرة ويكون عمودياً على محور التماثل. يحدد المستقيم العرضي حجم وشكل القطع المكافئ.

4- المسافة البؤرية Focal Distance :- مسافة أي نقطة تقع على القطع المكافئ من بؤرة القطع المكافئ تُسمى المسافة البؤرية. المسافة البؤرية تساوي المسافة العمودية للنقطة المعطاة من الدليل.

5- الوتر البؤري Focal chord :- الوتر الذي يمر عبر بؤرة القطع المكافئ يسمى الوتر البؤري للقطع المكافئ. دائماً ما يقطع الوتر البؤري القطع المكافئ عند نقطتين مختلفتين. 

6- الدليل Directrix :- هو الخط الذي يكون دائماً متعامداً مع محور القطع المكافئ.

الرسم البياني للقطع المكافئ Graph of Parabola 

الرسم البياني للقطع المكافئ هو منحنى على شكل حرف U، والذي يمكن أن يكون مقعراً للأعلى أو يكون مقعراً للأسفل. بشكل عام فإن معادلة القطع المكافئ المرسوم بيانياً تكون بالصورة y= ax²+bx+c حيث a,b,c ثوابت،والتي تحدد شكل القطع المكافئ.

 - فإذا كان a>0 في المعادلة y=ax²+bx+c ، فإن منحنى القطع المكافئ يفتح للأعلى، ويكون قمة رأسه أدنى نقطة في القطع المكافئ.

- وإذا كان a<0 في المعادلة y=ax²+bx+c ، فإن منحنى القطع المكافئ يفتح للأسفل، ويكون قمة رأسه أعلى نقطة في القطع المكافئ.

معادلة المماس للقطع المكافئ Tangent Equation of Parabola

المماس هي مستقيمات تمس المنحنى عند نقطة واحدة فقط. لذا فإن المستقيم الذي يمس القطع المكافئ عند نقطة واحدة تماماً يسمى مماس القطع المكافئ.

هناك طرق مختلفة للعثور على مماس القطع المكافئ والتي سيتم مناقشتها في النقاط التالية:-

• معادلة المماس في صيغة النقطة  

        للقطع المكافئ y²=4ax ، تكون معادلة المماس عند النقطة(x₁,y₁) هي yy₁= 2a(x+x₁) حيث              أن النقطة (x₁,y₁) هي نقطة الاتصال بين المماس والمنحنى.

• معادلة المماس في الصيغة البارامترية 

       للقطع المكافئ y²=4ax ، تكون معادلة المماس عند النقطة (at²,2at) هي ty = x+at² حيث أن.           النقطة (at²,2at) هي نقطة الاتصال بين المماس والمنحنى.

• معادلة المماس في صيغة الميل

       للقطع المكافئ y²=4ax ، مع معادلة الميل m عند النقطة (a/m², 2a/m) هي y=mx+a/m.               حيث أن النقطة  (a/m², 2a/m) هي نقطة الاتصال بين المماس والمنحنى.

مثال 1:- أوجد طول المستقيم العرضي، البؤرة، وقمة رأس لمعادلة القطع المكافئ x=  2(y-3)² + 24                                                                                                     

الحل :-

نعلم أن معادلة القطع المكافئ العامة x = a(x-h)² + k وبمقارنتها بالمعادلة أعلاه  x= 2(y-3)² + 24

فإن a = 2 ، وطول المستقيم العرضي =1/a 

       = 1/2

قمة الرأس = (h,k)

                = (24,3)

البؤرة = (h+1/4a ,k)

         = (24+1/8,3)

         = (193/8,3)

مثال 2:- أوجد معادلة القطع المكافئ الذي بؤرته (0,0) ودليله y=4

الحل :-

بما أن البؤرة (0,0) ، والدليل y=4

لنفترض أن هناك نقطة (x، y) على القطع المكافئ، بُعدها عن نقطة البؤرة (0,0) هو 

√ (x-0)² + (y-0)²

المسافة من الدليل y=4 هي |y-0|

وبحسب تعريف القطع المكافئ، فإن هاتين المسافتين متماثلتان، أي أن

√ (x-0)² + (y-0)² = |y-4|

بتربيع طرفي المعادلة 

(x-0)² + (y-0)² = (y-4)²

x² + y² = y² - 8y + 16

x² + 8y -16 = 0

اذن معادلة القطع المكافئ هي  x² + 8y -16 = 0

مثال 3 :- ارسم المعادلة ثم حدد الاتجاه الذي يفتحه القطع المكافئ وحدد رأسه وبؤرته ودليله ومحور تماثله 

الحل :-

x = - 1/8(y+2)² - 3

بمقارنتها بالصيغة العامة للقطع المكافئ 

x = a(y-k)² + h، فإن  a= -1/8 ، h= -3 ، k= -2

وبما أن a<0  وبما أن والقطع المكافئ يفتح أفقيًا، فإن هذا القطع المكافئ يفتح إلى اليسار .

- قمة الرأس  (h,k) =(3,-2-)

- البؤرة (h +1/4a ,k)

(h +1/4a , k) = ( -3+1/4(-1/8) , -2)

                       = (-3+(-2) , -2)

                       = (-5,-2)

- الدليل x = h - 1/4a 

x = -3 - 1/4(-1/8)

x = -3-(-2)

x = -1 

- محور التماثل y = k

                  y = -2

مثال 4 :- أوجد معادلة القطع المكافئ المتماثل حول المحور y ويمر بالنقطة 

                                                                                                                           (3,-4)

الحل :-

بما أن القطع المكافئ متماثل حول المحور y ورأسه عند نقطة الأصل وبالتالي، يمكن أن تكون المعادلة من الصيغة x² = 4ay أو  x² = - 4ay ، حيث تعتمد الإشارة على ما إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا للأعلى أو للأسفل.

ولأن القطع يمر بالنقطة (4-ا,3) الذي يقع في الربع الرابع، يجب أن يفتح للأسفل. لذا ستكون المعادلة 

 x² = - 4ay ، 

نعّوض النقطة (4-ا,3) بالمعادلة أعلاه ،نحصل على

(3)² = - 4a(-4)

9 = 16 a

a = 9/16

وبالتالي فإن معادلة القطع المكافئ هي x² = - 4(9/16)y ،

4x² = -9y

مثال 5  :-أوجد إحداثيات البؤرة والمحور ومعادلة الدليل والمستقيم العرضي للقطع المكافئ y² = 8x

الحل :-

معادلة القطع y² = 8x، وبقارنتها بالصيغة القياسية y² = 4ax نحصل على 

a = 2

نلاحظ أن معامل x موجب لذا فإن القطع المكافئ يفتح على اليمين. كما أن محور التماثل يقع على طول المحور السيني الموجب لذلك،

بؤرة القطع المكافئ

(a,0) = (2,0)

معادلة الدليل 

x = -a ⇒ x = -2

طول المستقيم العرضي = 4a

= 4(2)

= 8