ميل الخط المستقيم وطرق حسابه The Slope of a Line

 ميل الخط المستقيم وطرق حسابه  The Slope of a Line

يعد ميل الخط مفهوماً أساسياً في حساب التفاضل والتكامل أو الهندسة الإحداثية، أو يمكننا القول أن ميل الخط أمر أساسي في مادة الرياضيات الكاملة. يساعدنا فهم الميل أو (المنحدر) في حل العديد من المشكلات في الرياضيات أو الهندسة أو الفيزياء.

في هذه المقالة سوف نتعرف على ميل الخط بالتفصيل وطرق إيجاد الميل وتطبيقاتها كذلك سنتكلم عن أنواعه وطرق حسابه المختلفة،وأيضاً معادلة ميل الخط.

ماهو الميل؟

في الرياضيات، الميل هو مقياس إنحدار الخط أو السطح وإتجاهه مما يعني أن ميل الخط يخبرنا عن مدى إنحدار الخط أو السطح مع المحور السيني الموجب. كلما زاد ميل المنحنى أو الخط، زادت كمية الإنحدار التي سيُظهرها في الرسم البياني.

بشكل عام، يتم تعريف الميل بإحداثيات ثنائية الأبعاد كنسبة التغير في الإحداثي y بالنسبة إلى التغير في الإحداثي x.

يمكن أن يساعد العثور على ميل الخطوط في المستوى الإحداثي في التنبؤ بما إذا كانت الخطوط متوازية أو متعامدة أو لاشيء دون إستخدام البوصلة فعلياً.

ميل الخط المستقيم   Slope of a Line 

ميل الخط أو ميل الخط المستقيم هو مقياس إنحدار الخط ويُعطى رياضياً كنسبة التغير في إحداثي y إلى التغير في إحداثي x من الخط. كما يمكن تعريفه على إنه مقدار التغير في إرتفاع الخط مقسوماً على التغير في المسافة الأفقية (المدى) وهو يصف إنحدار الخط في المستوى الإحداثي.

حساب ميل الخط يشبه إيجاد الميل بين نقطتين مختلفتين. بشكل عام، لإيجاد ميل خط ما، علينا الحصول على قيم أي إحداثيين مختلفين على الخط.

أنواع الميل Types of Slope

إن الإتجاه مهم عندما يتعلق الأمر بتحديد الميل.  فمن المهم الإنتباه إلى ما إذا كنت تتحرك لأعلى أو لأسفل أو لليسار أو لليمين؛  أي إذا كنت تتحرك في اتجاه إيجابي أو سلبي.  أما إذا صعدت لتحصل على نقطتك الثانية، فالصعود إيجابي.  أما إذا نزلت لتحصل على نقطتك الثانية فإن الارتفاع يكون سلبيا.  إذا اتجهت لليمين لتحصل على نقطتك الثانية، فإن المدى يكون إيجابية.  إذا اتجهت يسارًا لتحصل على نقطتك الثانية، فسيكون المدى سلبيًا.

يمكننا تصنيف الميل إلى أنواع مختلفة إعتماداً على العلاقة بين المتغيرين x و y إعتماداً على العلاقة بين المتغيرين x و y وبالتالي قيمة الإنحدار أو ميل الخط الذي تم الحصول عليه.

هنالك 4 أنواع مختلفة بين المنحدرات على النحو التالي:

• الميل الإيجابي.
• الميل السلبي.
• ميل مساوٍ للصفر.
• ميل ذو قيمة غير مُعّرفة .

• الميل الإيجابي Positive Slope

يُقال أن الخط له ميل موجب إذا كان يصنع زاوية أقل من الزاوية القائمة (زاوية حادة) مع محور x الموجب، بمعنى آخر الخط ذو الميل الإيجابي يكون مائلاً للأمام في إتجاه المحور السيني الموجب. وتكون الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم وبين محور السينات قيمتها بين 0- 90°

• الميل السلبي Negative Slope

يُقال أن الخط له ميل سلبي إذا كان يصنع زاوية أكبر من الزاوية القائمة (زاوية منفرجة) مع محور x الموجب بمعنى آخر  الخط ذو الميل السلبي يكون مائلاً للخلف في إتجاه المحو الصادي السلبي. وتكون الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم وبين محور السينات قيمتها بين 90°-180°.

• ميل مساوٍ للصفر Zero Slope

الخط الذي ميله صفراً، يعني أنه لا يوجد له إنحدار نحو الأعلى أو الأسفل، حيث يكون المستقيم كخط أُفقي يوازي محور السينات، أي أن الزاوية المحصورة بينه وبين محور السينات هي صفر.

• ميل غير مُعّرف Undefined Slope

سيظهر الخط ذو الميل غير المحدد، كخط عمودي على محور السينات (محورx). وتكون الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم وبين محور السينات قيمتها 90° ، و ظا90 = ∞

طرق إيجاد ميل الخط المستقيم

تتعدد الطرق التي يمكن من خلالها إيجاد ميل الخط المستقيم:

1. إيجاد الميل بتحديد نقطتين من مستقيم

يمكن إيجاد قانون الميل للخط المستقيم من خلال تحديد نقطتين على الأقل مثل (x₁,y₁) و(x₂,y₂) يمر بهما هذا المستقيم، وذلك بتطبيق القانون التالي: 

m = Δy / Δx = (y₂-y₁) / (x₂-x₁)  

     

 مثال 1 : ماهو ميل المستقيم الذي يمر بالنقطتين (6,-5)، (18ا,5).

الحل :- 

m= الميل  = (y₂ - y₁) / (x₂- x₁) = (18 - 6) / (5 - (-5)) 

                 = 12 / ا10 

                 = 6/ 5

مثال 2 : جد ميل المستقيم المار بالنقطتين (0ا,1-) ، (4ا,1)

الحل :- 

الميل  = (y₂ - y₁) / (x₂- x₁) = ((1-) - 1) / (4 -0) 

         = 2/4

         = 1/2 

         = 0.5

مثال 3 : إذا كان ميل المستقيم المار بالنقطتين (7ا,9-)، (xا, 0) هو 3، جد قيمة x .

الحل :- 

الميل  = (y₂ - y₁) / (x₂- x₁) 

   3    = ((9-)-0)/ (x- 7) 

   3    = 9 / (x - 7)

   9    = 3x -21

  3x  = ا 30

   x   = ا 10

2. إيجاد الميل بإستخدام ظل الزاوية

يمكن التعبير عن قانون الميل كزاوية بالدرجات، وهي الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم ومحور السينات (محور x) ويُرمز لها θ .

الميل = ظل الزاوية.     

m = tan (θ) 

مثال : لتكن الزاوية المحصورة بين المستقيم وبين محور السينات هي45° ، فإن ميل الخط المستقيم  = ظا 45 = 1

3. حساب الميل من الرسم البياني 

بمجرد النظر إلى الرسم البياني للخط المستقيم، يمكنك معرفة بعض الأشياء حول ميله، حيث يمكنك تحديد ميل الخط من الرسم البياني الخاص به من خلال النظر إلى إرتفاع الخط ومداه. إحدى خصائص الخط هي أن ميله ثابت على طوله، لذلك يمكنك إختيار أي نقطتين على طول الرسم البياني للخط لمعرفة الميل.

يمكن حساب ميل الخط المستقيم من الرسم البياني بإتباع الخطوات التالية:

الخطوة 1: حدد نقطتين على الخط بإحداثياتهما.

الخطوة 2: إستخدم صيغة الميل بين نقطتين لحساب الميل.

مثال 1 : إستخدم الرسم البياني لإيجاد ميل الخط 

الحل :- 

إبدأ من نقطة على الخط ولتكن (2,1) وتحرك عمودياً حتى تتماشى مع نقطة أُخرى على الخط، مثل (6,3)، الإرتفاع = 2 (وحدتين)، وهو موجب .

بعد ذلك إنتقل أُفقياً إلى النقطة (6,3)، ثم إحسب عدد الوحدات ، المدى هو 4 وحدات وهو موجب.

الميل = الإرتفاع / المدى 

        = 2/4 

        = 1/2 .

وبغض النظر عن النقطتين اللتين تختارهما على السطر ، فلو حاولنا قياس الميل من نقطتين أخرتين في الرسم سنحصل على نفس الميل

الأن سنقوم بقياس الميل من نقطة الأصل (0,0) إلى النقطة (3ا,6) سنجد أن الإرتفاع = 3 ، والمدى = 6

الميل= الإرتفاع / المدى 

       = 3 / 6

       = 1/2

مثال 2 : إستخدم الرسم البياني لإيجاد ميل الخط

الحل :- لاحظ أن الخط له ميل موجب، لذا تتوقع أن يكون الجواب موجب

إبدأ من النقطة (1ا,2-) إلى النقطة (5,-1-)، هذا الخط لديه إرتفاع بمقدار 4 وحدات لأعلى، لذا الإرتفاع = 4.

المدى = 1 ،وحدة واحدة إلى اليمين.

الميل = الإرتفاع / المدى

        = 4 /1

        = 4

مثال 3 : إستخدم الرسم البياني لإيجاد ميل الخط

الحل :-

بدأً من النقطة (2-,-1-) إلى النقطة (1-ا,3) ، هذا الخط له إرتفاع بمقدار وحدة واحدة، الإرتفاع =1

المدى = 4 ، له مسافة 4 وحدات إلى اليمين.

الميل = الارتفاع / المدى

        = 1 / 4

4. حساب الميل من الجدول 

يمكن حساب الميل من الجدول بإتباع الخطوات التالية:

الخطوة 1: إختر قيمتين ل x وقيم y المقابلة لها من الجدول.

الخطوة 2: إحسب التغير في قيمة xا(Δx) والتغير في قيمة yا(Δy).

الخطوة 3: إحسب الميل بإستخدام الصيغة: 

 الميل = التغير في قيم y / التغير في قيم x

m = Δy / Δx

مثال 1: احسب الميل بين x = 1 وx = 3 في الجدول التالي.

x-value	y-value
1	5
2	7
3	9
4	11
5	13

- التغير في قيّم x 

3 - 1 = 2

- التغير في قيّم y 

9 - 5 = 4

- الميل = التغير في قيم y / التغير في قيم x

          = 4 / 2

          = 2 

مثال 2: احسب ميل الجدول التالي.

x	y
2	5
3	10
4	15
5	20

- التغير في كل زوج متتالي من y بحيث يكون التغير في y هو 5.

- التغير في كل زوج متتالي من x بحيث يكون التغير في x هو 1.

الميل = التغير في y / التغير في x

        = 5 / 1

        = 5

ميل الخطوط المتعامدة  Slope of Perpendicular Lines

ميل الخطوط المتعامدة متناسبة عكسيا مع بعضها البعض وحاصل ضربها هو -1.  بمعنى آخر، إذا كان لدينا خطين ميلهما m1 وm2، فإن شرط أن يكون هذين الخطين متعامدين هو:

m1 = - 1/m2      أو      m1 × m2 = -1

ميل الخطوط المتوازية  Slope of Parallel Lines

ميل الخطوط المتوازية هو نفسه حيث أن كلا الخطين يميلان على نفس المحور x الموجب.  وبعبارة أخرى، إذا كان ميل خط واحد هو م فإن ميل الخط الموازي لهذا الخط هو أيضا م.

معادلة الخط في صيغة تقاطع الميل   Equation of Line in slope Intercept Form

يعد صيغة تقاطع الميل للخط المستقيم أحد أكثر الأشكال شيوعًا المستخدمة لتمثيل معادلة الخط .

يمكن استخدام صيغة تقاطع الميل للعثور على معادلة الخط عند إعطاء ميل الخط المستقيم m والتقاطع y (الإحداثي y للنقطة التي يتقاطع فيها الخط مع المحور y).

معادلة الخط هي المعادلة التي تتحقق بكل نقطة تقع على هذا الخط.  إحدى الطرق المختلفة للعثور على معادلة الخط المستقيم هي:

• صيغة تقاطع الميل Slope-intercept form

تُستخدم صيغة الميل والتقاطع للخط المستقيم لإيجاد معادلة الخط. بالنسبة لصيغة الميل والتقاطع، علينا معرفة الميل وتقاطع الخط مع المحور y.فلو إعتبرنا أن خط مستقيم ذو ميل "m" وتقاطعه مع المحور y في "b".  يمكن إعطاء معادلة تقاطع الميل لخط مستقيم ذو ميل و'm' و'b' كتقاطع y على النحو التالي:  y = mx + b ،حيث 

• m هو ميل الخط المستقيم.
• b هو تقاطع y للخط المستقيم.
• (x,y) تمثل كل نقطة على الخط.

أثناء تطبيق الصيغة أعلاه فإن x و y  يعتبران كمتغيرين.

إن صيغة تقاطع الميل تُستخدم في العثور على الميل، أو تقاطع y، أو تقاطع x، أو معادلة الخط المستقيم في ضوء المعلمات المطلوبة.  هناك صيغ مختلفة متاحة للعثور على معادلة الخط المستقيم.  صيغة الميل والتقاطع هي إحدى هذه الصيغ التي تستخدم عندما نعرف ميل الخط المستقيم الذي يرمز له بالرمز m، وتقاطع y للخط المستقيم الذي يرمز له بالرمز b أو (bا,0). إليك بعض الأمثلة المحلولة لنتعلم صيغة تقاطع الميل .

مثال  :لتكن معادلة الخط المستقيم هي 

3x +4y+5 =0 ، أوجد الميل وتقاطع y للخط بإستخدام صيغة تقاطع الميل.

الحل :-

نعيد ترتيب معادلة الخط لنكتبها بالصورة القياسية y = mx + b.

        4y = -3x - 5

y = - 3/4 x - 5/4

لذا فإن m = - 3/4 و  b = - 5/4

اذن ميل الخط المستقيم = 3/4-

وتقاطع yا = 5/4- = b

والأن إذا كان المستقيم يمر بنقطة (x₁، y₁) وميله m، فإن معادلة الخط تعطى كما يلي:

y - y₁ = m(x - x₁)

حيث يمثل x و y جميع إحداثيات الخط.

يمكننا أيضًا كتابة المعادلة نفسها باستخدام النقطتين اللتين يمر منهما الخط المستقيم.  إذا مر المستقيم بـ (x₁، y₁ ) و (x₂, y₂) فإن معادلته تعطى بالصيغة التالية:

y - y₁ = [(y₂-y₁) / (x₂-x₁)] . (x - x₁)

 

مثال 1: أوجد معادلة الخط المستقيم الموضح في الرسم البياني.

الحل :- 

الميل = الارتفاع / المدى 

        = 8 /2

        = 4
معادلة الخط المستقيم المار بـالنقطة (x₁، y₁) وميله m هي 

y - y₁ = m(x - x₁)

وبالتالي فإن معادلة الخط المستقيم للنقطة (4,2) و ميله 4 هي

y - 2 = 4 (x - 4 )

y - 2 = 4x - 16

y = 4x - 14

مثال 2: أوجد معادلة الخط الموضح في الرسم البياني.

النقطتان (x₁، y₁ ) و (x₂, y₂)  هما A (2,3) و B (5,7)

y - y₁ = [(y₂-y₁) / (x₂-x₁)] . (x - x₁)

y - 3 = [(7-3)/(5-2)] . (x-2)

y - 3 = (4/3) . (x-2)

3y - 9 = 4x - 8

3y = 4x + 1

مثال 3: أوجد الخط المار من الإحداثيات (2،5) وميل الخط هو 5.

الحل :- 

 نعلم أن ميل المستقيم m = 5 والنقطة (x1, y1) = (2,5)

بالتعويض بالقيم في معادلة المستقيم

y - y₁ = m(x - x₁)

y - 5 = 5 (x - 2)

y - 5 = 5x - 10

y = 5x - 10 + 5

y = 5x - 5