التكامل غير المحدد..تعريفه..صيغه..وطرق حسابه

 التكامل غير المحدد 

Indefinite Integral

تعتبر التكاملات غير المحددة، والمعروفة أيضًا باسم المشتقات العكسية، ضرورية في حساب التفاضل والتكامل لعكس عملية الاشتقاق. عند إعطاء مشتق دالة، يتم إستخدام التكامل للعثور على الدالة الأصلية، مع الأخذ في الإعتبار ثابتًا عشوائياً C بسبب عدم تفرد المشتقات العكسية. تساعد القواعد والصيغ الأساسية، مثل قاعدة القوة العكسية، في حساب تكاملات كثيرات الحدود والدوال القياسية الأخرى.  توفر التفسيرات الرسومية أيضًا نظرة ثاقبة لسلوك التكاملات، مما يوضح كيف يمكن للتكاملات أن تمثل المنحنيات وتُصّور معدل التغيير أو المنطقة الواقعة أسفل المنحنيات. تُعتبر الطرق المختلفة للتكامل بالتجزئة (Integration by parts)، والتكامل بالتعويض (Integration by Substitution)، وتكامل الكسور الجزئية (Integration of partial fractions)، وتكامل الدوال المثلثية العكسية (Integrationof inverse trigonometric functions) ضرورية لحل التكاملات الأكثر تعقيدًا، تختلف التكاملات غير المحددة عن التكاملات المحددة في أنها تتضمن ثابتًا عشوائيًا ولا يتم حسابها خلال فترة زمنية محددة، مما يؤكد إستخدامها المفاهيمي الأوسع في حساب التفاضل والتكامل.

في هذه المقالة سنناقش المزيد عن التكاملات غير المحددة والصيغ المهمة والفرق بين التكاملات غير المحددة والتكاملات المحددة مع الأمثلة. 

اقرأ أيضا: التكامل، انواعه، قواعده ، صيغه، وطرق إيجاد التكامل 

التكامل غير المحدد Indefinite Integration 

التكامل غير المحدد هو تكامل الذي ليس له أي قيم بداية ونهاية محددة، بل هو الصيغة العامة. فهو يطلب منا ببساطة إيجاد مشتق عكسي عام للتكامل. إنها ليست دالة واحدة، بل مجموعة من الدوال، تختلف باختلاف الثوابت؛ ولذا يجب أن تحتوي الإجابة على "+". مصطلح "ثابت" يُشير إلى جميع المشتقات العكسية. لو فرضنا أن لدينا دالة f(x) = sin(x)، مشتقة هذه الدالة هو f'(x) = cos(x)، لذلك فإن تكامل f'(x) يجب أن يعيد إعطائنا الدالة الأولية f(x). يمكننا أن نفهم هذا من التعبير أدناه : 

• if d/dx f(x) = f'(x) then ∫ f'(x)dx = f(x) + C

 C هو ثابت التكامل 

حساب التكامل غير المحدد 

تعتمد عملية حساب التكامل غير المحدد على الدالة المعطاة. فيما يلي الخطوات المختلفة لحساب التكاملات غير المحددة  لأنواع مختلفة من الدوال :- 

الخطوة 1 : يتم حل التكاملات العادية غير المحددة بإستخدام صيغ التكامل المباشر.

الخطوة 2 : حل التكاملات ذات الدوال الكسرية بإستخدام طريقة الكسور الجزئية. 

الخطوة 3 : يمكن حل التكاملات غير المحددة بإستخدام طريقة التعويض أو الإستبدال.

الخطوة 4 : يتم حل تكامل من حاصل ضرب دالتين بإستخدام التكامل بالتجزئة.

أمثلة

مثال 1 : احسب التكامل غير المحدد  ഽ 3x² sin x³ dx 

الحل :- يمكن حساب التكامل المعطى باستخدام طريقة الاستبدال (التعويض).

فنفترض أن x³ = t

فان 3x² dx=dt

ثم يصبح التكامل المعطى ഽ sin t dt 

وباستخدام أحد قواعد التكامل تكون قيمته  cost + C -

نعوض ب t = x³ قيمة التكامل غير المحدد المعطى هي cos x³ + C -

مثال 2 : إحسب التكامل غير المحدد  ഽ x³ cos x⁴ dx

الحل : بإستخدام طريقة الاستبدال(التعويض) .

لنفرض x⁴ = t

4x³ dx = dt 

 الان ، ഽ x³ cos x⁴ dx

= 1/4ഽcos t dt

= 1/4(sin t) + C

= 1/4 sin (x4) + C

صيغ مهمة للتكاملات غير المحددة 

أدناه بعض الصيغ الهامة للتكاملات غير المحددة: 

• ∫ xⁿ dx = x^{n + 1}/ (n + 1) + C

• ∫ 1 dx = x + C

• ∫ e^x dx = e^x + C

• ∫1/x dx = ln |x| + C

• ∫ a^x dx = a^x / ln a + C

• ∫ cos x dx = sin x + C

• ∫ sin x dx = -cos x + C

• ∫ sec²x dx = tan x + C

مثال : أوجد التكامل للدالة المعطاة f(x)، 

f(x) = 2eˣ 

الحل : 

الدالة eˣ هي دالة قياسية، ودالتها العكسية هي  ഽ f(x)dx =

     ഽ 2eˣ dx   = 

 بإستخدام خاصية المضاعف الثابت للتكامل غير المحدد فان

 2ഽ eˣ dx =

    2eˣ + C = 

 

$2\int {�}^{�}�\mathrm{�<span\; style="font-family:\; KaTeX\_Main,\; "Times\; New\; Roman",\; serif;\; letter-spacing:\; 0.162px;\; text-wrap:\; nowrap;">2</span>}$

قاعدة القوة العكسية

تساعد هذه القاعدة في تكامل الدوال التي لها الصيغة xⁿ (الدوال الأسية) 

   ഽ xⁿdx = (xⁿ⁺¹ /n+1) + C

حيث C ثابت عشوائي، و n≠1 

لتطبيق هذه القاعدة يتم زيادة أس المتغير بمقدار 1 ثم يتم قسمة النتيجة على قيمة الأس الجديدة. ويتم اضافة C (ثابت التكامل) إلى النتجة النهائية.

يمكن تطبيق قاعدة القوة العكسية للتكامل على :

• دوال متعددة الحدود مثل (x² ,x³x,... الخ)
• الدوال الجذرية (x , ∛x, √x الخ)، كما يمكن كتابتها على أنها الأسس.
• بعض أنواع الدوال الكسرية التي يمكن كتابتها بصيغة الأس مثل 

                                    1/x², 1/x³

الفرق بين التكامل غير المحدد والتكامل المحدد 

يتم استخدام التكاملات غير المحددة للعثور على تكامل أي دالة غير محددة، أي ليس لها أي حد، سواء الحد الأدنى أو الحد الأعلى. بينما التكاملات المحددة تعطي قيمة الدالة في حد ما. أي أن التكاملات المحددة تكون متكاملة خلال فترة زمنية محددة. التكاملات غير المحددة لها ثابت التكامل بينما التكامل المحدد ليس له ثابت التكامل.

- للتكامل غير المحدد ،

 ഽ f(x) dx = F(x) + C 

- للتكامل المحدد ،

   ₐഽ^b f(x) dx = F(b) – F(a) 

 

 

أمثلة :-

مثال: أوجد التكامل للدالة f(x) = 5x⁻² + x⁴ + x 

الحل : 

f(x)= 5x⁻² + x⁴ + x 

باستخدام قاعدة القوة العكسية

= ഽ f(x) dx

= ഽ (5x⁻² + x⁴ + x ) dx

= ഽ(5x⁻²) dx + ഽ(x⁴) dx + ഽ (x) dx 

= 5 ഽ x⁻² dx + ഽ x⁴ dx + ഽ x dx 

= 5 x⁻¹ + x⁵/5 + x²/2

= 5/x + x⁵/5 + x²/2

مثال :- أوجد تكامل الدالة  ഽx ln x dx  باستخدام التكامل بالتجزئة .

الحل : 

لنفرض أن

u = ln x  &  v = x

باستخدام صيغة التكامل بالتجزئة 

ഽ uv dx = u ഽ v dx - ഽ (u' ഽv dx) dx

ഽ x ln x dx = ln x ഽ x dx - ഽ(1/x)(ഽ x dx) dx

= ln x (x²/2) - ഽ (1/x) (x²/2) dx

= (x² lnx)/2 - (1/2) ഽ x dx

= (x² lnx)/2 - (1/2) (x²/2) + C

= (x² lnx)/2 - (x²/4) + C

= (x²/4)(2 ln x-1) + C

الطريقة الثانية للحل هي 

لنفرض أن 

u = ln x  &  dv = x dx

فإن 

du =(1/x) dx  &  v = ഽ x dx = x²/2

باستخدام صيغة التكامل بالتجزئة 

ഽ u dv = uv - ഽ v du

ഽ x ln x dx = ln x (x²/2) - ഽ(x²/2) (1/x) dx 

= (x² lnx)/2 - (1/2) ഽ x dx 

= (x² lnx)/2 - (1/2)(x²/2) + C

= (x² lnx)/2 - (x²/4) + C

= (x²/4)(2 ln x-1) + C