التكامل
التكامل في الأساس طريقة للعمل بشكل عكسي من المشتقات، وهذا يعني أنه بدلاً من العثور على مشتق دالة، يجد المرء الدالة أو الدوال التي يتوافق معها المشتق. فالتكامل هو وسيلة لإيجاد الدالة الفعلية التي يتم إعطاء مشتقها.
إن حساب التفاضل والتكامل لا يتجزأ، ففي حين يمكن إستخدام المشتق لحساب معدل التغير على المنحنى عند أي نقطة معينة، يمكن إستخدام التكامل للعثور على المساحة تحت المنحنى خلال أي فترة زمنية. يُستَخدم التكامل لتحديد وحساب مساحة المنطقة التي يحدها الرسم البياني للدوال. تُشكل العلاقة بين التكاملات والمشتقات العمود الفقري للنظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل.
يوجد شكلين من التكاملات وهي التكاملات المحددة Definite Integrals والتكاملات غير المحددة Indefinite Integrals، والتي سيتم مناقشتها في هذه المقالة.
للتكامل العديد من التطبيقات في الحياة الواقعية وكذلك في مجالات مختلفه مثل الرياضيات والفيزياء والهندسة، فهو بالإضافة الى إيجاد المساحة تحت المنحنى، فهو يستخدم للعثور على وحدات الحجوم للأشكال العشوائية المختلفة، وإيجاد المساحة بين منحنيين، ويستخدم التكامل في صيغ متعددة في الفيزياء.
في هذه المقالة سنتعرف على التكامل وخصائصه و أنواعه و قواعد التكامل وطرق إيجاده.
تعريف التكامل Integration Definition
إذا كانت f دالة مستمرة موجبة، المحددة خلال الفترة الزمنية [a,b]، فإن المساحة الواقعة بين الرسم البياني للدالة f والمحور x تؤدي إلى تكامل f. المساحة تحت المنحنى تمثل التكامل المحدد للدالة f . رمز التكامل هو ഽ .
التكامل عملية عكسية للتفاضل Integration is an Inverse Process of Differention
لنفترض لدينا مشتقة دالة والمطلوب إيجاد الدالة الأصلية، تسمى هذه العملية التكامل. فالمشتقات والتكاملات متضادة (معاكسات) مع بعضها البعض.
فلو فرضنا أن لدينا الدالة f(x) = sinx، فإن مشتقة f(x) هو f'(x) = cosx فنقول أن الدالة cosx هي الدالة المشتقة لsinx . وبالمثل نقول أن sinx هو المشتق العكسي لcosx.
أنواع التكامل Types of Integration
يمكن تصنيف التكامل إلى نوعين:
● التكامل المحدد Definite Integral ● التكامل غير المحدد Indefinite Integral
1) التكامل المحدد Definite Integral
يُعرف المُشتق العكسي F(x) للدالة المستمرة f(x) على الفتره [a,b] بالتكامل المحدد. وتكون قيمتها أو يمكن تمثيلها ب F(b) - F(a)، حيث أن F(b) هو المشتق العكسي عند x=b و F(a) هو المشتق العكسي عند x=a.
يُطلق على aوb حدود التكامل حيث a الحد الأدنى، وb هو الحد الأعلى للتكامل. تسمى الفتره [a,b] بفترة التكامل. .jpg)
.jpg){kind=small}
- إيجاد قيمة التكامل المحدد
إذا كانت f دالة مستمرة على الفتره [a,b] فإنه توجد دالة F مستمرة على الفتره [a,b] بحيث
f(x) = F'(x) ، لكل x ∈ (a,b) ويكون
تسمى F الدالة المقابلة للدالة f على الفتره [a,b].
فلو كانت
f(x) = 2x , f : [1,2]→R
فإن
F(x) = x² , F : [1,2]→R
F'(x) = 2x = f(x) , ∀x ∈ (1,2)
وعليه فإن
= 4 - 1
= 3
مثال :- أثبت فيما إذا كانت F(x) = x³+2 , ح F:[1,3]→R هي دالة مقابلة للدالة f(x) = 3x².
بما أن F(x) = x³+2 دالة مستمرة وقابلة للاشتقاق على R (دالة كثيرةالحدود)
إذن F مستمرة على [1,3] وقابلة للاشتقاق على (1,3).
F'(x) = 3x² = f(x) , ∀x ∈ (1,3)
إذن F هي دالة مقابلة للدالة f على [1,3].
مثال :- أوجد ₁ഽ³ x³ dx
₁∫³ x³ dx = ⟮x⁴/4⟯
= 3⁴/4 - 1/4
= 81/4 - 1/4
= 80/4
= 20
مثال :- أوجد ₀ഽπ⁄ ⁴ sec²xdx
₀ഽπ⁄⁴ sec²x dx = [tan x] = tan π/4 - tan 0
= 1 - 0
= 1
مثال :- أوجد ₀ഽπ⁄³ secx tanx dx
₀ഽπ⁄³ secx tanx dx = [secx] = sec π/3 - sec 0
= 2 - 1
= 1
2) التكامل غير المحدد Indefinite Integral
إذا كانت للدالة f المستمرة على [a,b] دالة مقابلة F فإنه يوجد عدد لانهائي من الدوال المقابلة للدالة f، كلٌ منها تكون من الصورة : F+c حيث c عدداً ثابتاً والفرق بين أي إثنين منها يساوي عدداً ثابتاً.
يكتب التكامل غير المحدد على الصوره:
ഽ f(x) dx = F(x)+c , c ∈ R
c هو ثابت التكامل
مثال :- أوجد ഽ (3x²+2x+1) dx
الحل
ഽ (3x²+2x+1) dx = 3x³/3 + 2x²/2 + x + c
= x³ + x² +x + c
مثال :- أوجد ഽ sin(2x+4) dx
الحل
ഽ sin(2x+4) dx = - 1/2 cos(2x+4) + c
مثال :- أوجد ഽ (x+secx tanx) dx
الحل
ഽ (x+secx tanx) dx = x²/2 + secx + c
مثال :- أوجد ഽ (x²+3)²(2x) dx
الحل
لنفترض أن f(x)=x²+3
فإن f'(x)=2x
∴ ഽ (x²+3)²(2x) dx = ഽ [f(x)]² f'(x) dx
= 1/3 [f(x)]³ + c
= 1/3 (x²+3)² + c
قواعد التكامل Rules of Integration
هناك قواعد معينة محددة لإيجاد التكاملات، وتشمل :
● قاعدة الجمع Addition Rule
يتم تحديد قاعدة الجمع للتكامل على النحو التالي:
ഽ (f(x) + g(x)) dx = ഽ f(x) dx + ഽ g(x) dx
● قاعدة الطرح Subtraction Rule
يتم تحديد قاعدة الطرح للتكامل على النحو التالي:
ഽ (f(x) - g(x)) dx = ഽ f(x) dx - ഽ g(x) dx
● قاعدة الأسس Power Rule
يتم تحديد قاعدة الأسس للتكامل على النحو التالي:
ഽ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/ (n+1) n≠-1
● قاعدة الضرب Multiplication Rule
يتم تحديد قاعدة الضرب للتكامل على النحو التالي:
ഽ a dx = aഽ dx = a x + c a =عدد ثابت
● قاعدة التبادل Reciprocal Rule
يتم تحديد قاعدة التبادل للتكامل على النحو التالي:
ഽ (1/x)dx = ln(x) + c
● القواعد الأسية Exponential Rule
ഽ eˣ dx = eˣ + c
ഽ aˣ dx = aˣ / ln(a) + c
ഽ ln(x) dx = x ln(x) - x + c
طرق التكامل Methods of Integration
تشير طرق التكامل في حساب التفاضل والتكامل إلى التقنيات المختلفة المستخدمة لتبسيط دالة معينة بحيث يمكن دمجها بسهولة. في كثير من الأحيان، لا يكون ممكناً إجراء تكامل دالة بشكل مباشر، لذلك نحتاج إلى إستخدام تقنية محددة لتقليل التكامل تحليليًا ثم إجراء التكامل. تتضمن أي طريقة للتكامل تحديد نوع التكامل ومن ثم تحديد الطريقة التي سيتم إستخدامها. طرق التكامل المختلفة هي كما يلي:
■ التكامل عن طريق التعويض Integration by Substitution
■ التكامل بإستخدام الكسور الجزئية Integration using Partial Fractions
■ التكامل بالتجزئة Integration by Parts
1) طريقة التكامل بالتعويض Integration by Substitution
يعد التكامل بالتعويض إحدى الطرق المهمة والتي تستخدم عندما تكون الدالة المراد تكاملها إما دالة معقدة أو إذا كان التكامل المباشر للدالة غير ممكن. ويكون عن طريق تقليل الدالة المعطاة إلى دالة مبسطة بحيث يمكن العثور على تكاملها بسهولة. وتسمى أيضاً قاعدة السلسلة العكسية (Reverse Chain Rule).
تستخدم هذه الطريقة لتبديل المتغيرات من خلال إستخدام تعويض مناسب. وذلك عن طريق تحويل الدالة التكاملية إلى صيغة أخرى أي إلى أبسط صورة عن طريق تعويض أو استبدال المتغيرات المستقلة مثل "x" بمتغيرات أخرى.
لنفترض أنه علينا إيجاد y = ∫ f(x)dx
نفرض أن x = g(t)
فإن dx/dt = g'(t)
بالتعويض عن قيمة x نحصل على (y = ∫ f (g(t).g'(t)
مثال :- أوجد تكامل الدالة التالية بطريقة التعويض
∫ 2x cos(x²)dx
الحل :- لنفرض ان
y = ∫ 2x cos(x²) dx .......... (1)
نعوّض x² = t
بإشتقاق المعادلة أعلاه نحصل على 2x dx =dt
بالتعويض في معادلة (1)
بالتعويض في معادلة (1)
y = ∫ cos t dt
بتكامل المعادلة أعلاه
y = sin t + c
بتعويض قيمة t بالمعادلة
y = sin (x²) +c.
2) التكامل بإستخدام الكسور الجزئية Integration using Partial Fraction
التكامل بالكسور الجزئية هو أحد طرق التكامل, في هذه الطريقة، نقوم بتحليل الكسر النسبي المناسب إلى مجموع كسور نسبية أبسط. ويتم ذلك من خلال عملية تسمى تحلل الكسور الجزئية.
فلو فرضنا أن علينا أن نجد y = ∫ f(x)/g(x)، حيث f(x)/g(x) دالة كسرية وأن f(x) كثيرة الحدود من الدرجة n ، وg(x) كثيرة الحدود من الدرجة m ، علماً ان g(x)≠0 وقابلة للتحليل إلى عوامل.
الجدول التالي يوضح بعض الدوال الكسرية والشكل المقابل لها من الكسور الجزئية :
مثال :- أوجد تكامل الدالة التالية f(x) = 1 / (x+1)(x+2) بإستخدام طريقة التكامل بالكسور الجزئية
الحل :-
1 / (x+1)(x+2) = A/(x+1) + B/(x+2) .......(1)
سوف نحدد قيم Aو B
وبالمقارنة مع معادلة(1) نحصل على
A(x+2) + B(x+1) = 1
ومن هنا يصبح لدينا معادلتين خطيتين
A + B = 0
2A + B = 1
بعد حل هذه المعادلات نحصل على A=1 و B=-1
والأن يمكن كتابة المعادلة (1) بالشكل
1 / (x+1)(x+2) = 1/(x+1) - 1/(x+2)
والأن نحل التكامل
ഽ (1 / (x+1)(x+2)) dx
= ഽ (1/(x+1) - 1/(x+2)) dx
= ln |x+1| - ln|x+2| + c
= ln |x+1/x+2| + c
3) التكامل بالتجزئة Integration by Parts
التكامل بالتجزئة هو طريقة يستخدم في حساب التفاضل والتكامل لإيجاد تكامل حاصل ضرب دالتين. إنه في الأساس عكس قاعدة الضرب للمشتقات.
تكامل دالة ليس بالأمر السهل دائمًا، في بعض الأحيان يتعين علينا تكامل دالة تكون من حاصل ضرب دالتين أو أكثر في هذه الحالة إذا أردنا إيجاد التكامل علينا إستخدام مفهوم التكامل بالتجزئة، والذي يستخدم ضرب دالتين و يخبرنا كيف نجد التكامل بينهما. تستخدم هذه الطريقة لتبسيط التكاملات المعقدة وللعثور على تكامل دالتين.
لنفرض أن لدينا دالتين هما f(x) و g(x)، وعلينا أن نجد التكامل بين حاصل ضربهم. أي أن
ഽ f(x).g(x)dx . يتم حل هذا التكامل باستخدام الصيغة:
ഽ f(x).g(x) dx = f(x) ഽ g(x)dx - ഽ [f'(x) ഽg(x)dx] dx+c
تتم قراءة هذه الصيغة على النحو التالي:
تكامل الدالة الأولى مضروباً في الدالة الثانية يساوي [(الدالة الأولى) مضروباً في (تكامل الدالة الثانية) – تكامل (مشتقة الدالة الأولى في تكامل الدالة الثانية)].
يتم إعطاء صيغة التكامل الجزئي المعروف أيضًا باسم التكامل بالتجزئة بواسطة:
∫ u dv = uv – ∫ v du
أو
∫ u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c
حيث u و v دالتان قابلتان للاشتقاق لـ x.
مثال :- أوجد تكامل xeˣ بإستخدام التكامل بالتجزئة
الحل
ഽ xeˣ dx = x ഽ eˣ dx - ഽ(dx/dx ഽ eˣ dx) dx
= xeˣ - ഽ eˣ dx
= xeˣ - eˣ + c
خطوات إيجاد التكامل بالتجزئة
يمكننا اتباع التكامل بطريقة التجزئة باستخدام الخطوات التالية:
لنفترض أن علينا تبسيط ഽuv dx
1- اختر الدالة الأولى والثانية . لنفترض أننا نأخذ u كالدالة الأولى و v كالدالة الثانية.
2- اشتق u(x) بالنسبة إلى x ، أي قم بتقييم du/dx.
3- قم بتكامل v(x) بالنسبة إلى x ، أي قم بتقييم ഽv dx.
استخدم النتائج التي تم الحصول عليها في الخطوة 1 والخطوة 2 في الصيغة،
∫uv dx = u∫v dx − ∫((du/dx)∫v dx) dx
4- بسّط الصيغة أعلاه للحصول على التكامل المطلوب.
------------------ ------------------- ------------------
صيغ التكامل Integration Formulas
هناك صيغ تكامل مختلفة لدوال مختلفة، سنناقش أدناه تكامل الدوال المختلفة بعمق فنحصل على المعرفة الكاملة حول صيغ التكامل
¤ تكامل الدوال الثابتة
ഽ k dx = kx + c , k is constant
¤ تكامل الدوال المثلثية
• ഽ sin x dx = - cos x + c
• ഽ cos x dx = sin x + c
• ഽ sec² x dx = tan x + c
• ഽ cosec² x dx = - cot x + c
• ഽ secx tanx dx = sec x + c
• ഽ cosecx cotx dx = - cosecx + c
• ഽ tanx dx = - ln |sec x| + c
= - ln |cos x| + c
• ഽ cot x dx = ln |sin x|+ c
• ഽ sec x dx = ln |sec x +tan x| + c
• ഽ cosec x dx = ln |cosec x -cot x| + c
¤ تكامل الدوال الأسية واللوغاريتمية
• ഽ aˣ dx = aˣ/lna + c
• ഽ eˣ dx = eˣ + c
• ഽ lnx dx = xlnx - x + c
• ഽ logₐx dx = xlogₐx - x/lna + c
تعليقات
إرسال تعليق