أسئلة منوعة مع الحل في القطع الزائد والقطع الناقص بالخطوات

 

مثال 1 : جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل (0.0)، ويمر بالنقطة (3,0) والبُعد بين بؤرتيه 10 وحدات.

الحل :- 

البُعد البؤري = 2c  ⇐

2c = 10 

  c = 5   ⇒  c² = 25 

بؤرتا القطع الزائد (5,0), (5,0-)

  a = 3  ⇒  a² = 9

⇒  c² = a² + b²  

      25 = 9  + b²  ⇒b² = 16 

                            ⇒b  = 4

نعوض كُلاً من a² و b² في معادلة القطع الزائد     x²/a² - y²/b² = 1

                                                                      x²/9 - y²/16 = 1

مثال 2 : حدد البؤرتين والرأسين وطول المحور الحقيقي وطول المحور المرافق للقطع الزائد  x²/64 - y²/36 = 1

الحل :- 

x²/64 - y²/36 = 1 

a² = 64 ⇒ a = 8 

طول المحور الحقيقي = 2a

                               = (8).2

                               = 16 وحدة 

b² = 36 ⇒ b = 6

طول المحور المرافق = 2b

                             = (6) 2

                             = 12 وحدة

c² = a² + b²  

     = 64 + 36

     = 100       ⇒  c = 10

إحداثيات البؤرتان :  (c,o), (c,0-)

                             (10,0)f₁ و (10,0-)f₂

إحداثيات الروسان: (a,0),(a,0-)

                            (8,0)v₁ و (8,0-)v₂

مثال 3 : إرسم القطع الزائد x²/16 - y²/25 = 1 ، وجد البؤرتين والرأسين. 

الحل :- 

a² = 16  ⇒ a = 4

b² = 25  ⇒ b = 5

c² = a² + b²

     = 16 + 25

     = 41      ⇒ c = √41

 بؤرتا القطع الزائد  : (c,0)،(c,0-)

                                                                                  f₁(√41,0),f₂(- √41,0)

رأسا القطع الزائد  : (a,0)،(a,0-)

                                                                                         v₁ (4,0)، v₂(- 4,0)

 

مثال 4: جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل و طول محوره المرافق 4 وحدات وبؤرتاه

                                                                                    (0,-√8)، (0,√8)

       

الحل ؛- 

بما أن البؤرتان على المحور الصادي، لذا فإن المعادلة القياسية للقطع الزائد  y²/a² - x²/b² = 1

المحور المرافق  = 2b 

              2b = 4 ⇒b = 2 

                              b²= 4

                c = √ 8 ⇒ c² = 8 

               c² = a² + b² 

          

                 8 = a² + 4    ⇒ a² = 4 

نعّوض قيم a² و b² في المعادلة y²/4 - x²/4 = 1

مثال 5:- إرسم القطع الزائد y²/4 - x²/17 = 1

الحل :- 

المركز (0,0)

a² = 4

b² = 17 

c² = a² + b² 

c² = 4 + 17

     = 21   ⇒ c = √21

البؤرتان (cا,0)،(c-ا,0)

                                                                                                   f₁(0,√21), f₂(0,- √21)

الرأسان (aا,0),(a-ا,0)

                                                                                                           v₁(0,2), v₂(0,-2)

مثال 6:- حدد كُلاً من البؤرتان والرأسان والمركز لمعادلة القطع الزائد التالية :

3y² - 5x² = 15

الحل :- 

أولاً نقسم طرفي المعادلة على 15 

y²/5 - x²/3 = 1

المركز = (0,0)

              a² = 5 

              b² = 3

              c² = a² + b² 

                  = 5 + 3 

                  = 8    ⇒ c = √8 = 2√2

إحداثيات البؤرتان : (cا,0)،(cا-,0))

                                                                                f₂ (0,- 2√2) , f₁(0, 2√2)

إحداثيات الرأسان : (aا,o),(aا-,o)

                                                                                  v₁ (0,√5) , v₂ (0,- √5)

مثال 7:- جد طول كُل من المحورين وإحداثيات كُل من البؤرتين والرأسين والاختلاف المركزي لمعادلة القطع الناقص  

x²/25 + y²/16 = 1

الحل :- 

a² = 25 ⇒ a = 5

b² = 16 ⇒ b = 4

c² = a² - b²

    = 25 -16

    = 9 ⇒ c = 3

إحداثيات البؤرتين : (c,0) ، (c,0-)

                           f₁(3,0)ا, (3,0-)₂اf،

طول المحور الكبير    ⇐ 2a 

                              ⇐ا(5)2 = 10 وحدات

طول المحور الصغير  ⇐ 2b

                              ⇐ ا(4)2 = 8 وحدات

إحداثيات الراسين : (a,0) ، (a,0-)

                             v₁(5,0)ا, (5,0-)₂اv

الإختلاف المركزي   ⇐ e = c/a

                            ⇐ e = 3/5

مثال 8 :- جد طول كُل من المحورين وإحداثيات كُل من البؤرتين والرأسين والاختلاف المركزي لمعادلة القطع الناقص  

4x² + 3y² = 4/3

الحل :-

(لكي نجعل الطرف الأيمن = 1) نضرب طرفي المعادلة في (3/4)

3/4 [ 4x² + 3y² = 4/3 ] 

12/4 x² + 9/4 y² = 1

3 x² + 9/4 y² = 1

x²/₁/₃  +  y²/₄/₉  = 1

∴ a² = 4/9 ⇒ a = 2/3

     b² = 1/3 ⇒ b = 1/√3

    

      c² = a² - b²

          = 4/9 - 1/3

          = 1/9 ⇒ c = 1/3

إحداثيات البؤرتين : (cا,0) ، (c-ا,0)

                           f₁(0,1/3)ا, (1/3-,,0)₂اf

طول المحور الكبير    ⇐ 2a 

                              ⇐ا(2/3)2 = 4/3 وحدات

طول المحور الصغير  ⇐ 2b

                              ⇐ ا(√3/ا1) 2 = √3ا/ 2 وحدات

إحداثيات الراسين : (aا,0) ، (aا-,0)

                             v₁(0,2/3)ا, (2/3-,0)₂اv

الإختلاف المركزي   ⇐ e = c/a

                            ⇐ e = 1/2

مثال 9 :- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل، وبؤرتاه (0,4)،(4-ا,0) ،ومجموع مربعي طولي محوريه 136.

الحل :-

طول المحور الكبير    ⇐ 2a    ⇐   مُربعه  ²(2a)                             

طول المحور الصغير  ⇐ 2b    ⇐   مُربعه  ²(2b)

                              

مجموع مربعي طولي محوريه    ⇐    136  =  ²(2b) + ²(2a)  

                                                             4a² + 4b² = 136

بقسمة طرفي المعادلة على 4

                                                               a² + b² = 34

                                                               a² = 34 - b²  ......(1)

                                                               c = 4 ⇒  c² = 16

                                                           

                                                               c² = a² - b²

                                                              16 = 34 - b² - b²

                                                              16 - 34 = - 2 b² 

                                                              [- 18 = - 2 b² ]  ÷(-2)

                                                                   9 = b²

نعوضها في (1) لإيجاد a²

a² = 34 - b²

     = 34 - 9

a² = 25

معادلة القطع الناقص هي y²/a = 1 +ا x²/b

                                    y²/ 25 = 1 +ا x²/ 9

مثال 10 :- جد الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص الذي مركزه (2,3-)، طول المحور الكبير 10 وحدات، وإحداثيات بؤرتيه (2,0-)،(2,6-) ثم إرسم بيانياً القطع الناقص. 

الحل:- 

نلاحظ كُل من إحداثيات المركز والبؤرتين أن المحور الكبير هو المحور الصادي y.

المركز (h,k) = (2,3-)

طول المحور الكبير  = 2a

                       2a = 10

                         a = 5  ⇐ ا a² = 25

c هي المسافة من المركز إلى البؤرة  = 3

                                                c² = 9

                                       c² = a² - b²

                                                                                 9 = 25 - b²

                                                                               16 = b²

                                                                                 b = 4   

الصيغة القياسية 

                                                              (x - h)²/b² + (y - k)²/a² = 1

                                                             (x + 2)²/16 + (y - 3)²/25 = 1   

إحداثيات رأسا القطع هي (h,k+a) ، (h,k-a)

                                    (2,8-) , (2,-2-)

(h+b,k) , (h-b,k)

(2+4,3-) , (2-4,3-)

(2,3) , (6,3-)