حل معادلتين خطيتين من الدرجة الأُولى بمتغيرين

يتكون نظام المعادلات الخطية من معادلتين خطيتين أو أكثر مكونتين من متغيرين أو أكثر.
لإيجاد الحل الفريد لنظام المعادلات الخطية، يجب أن نجد قيمة عددية لكل متغير في النظام والتي تحقق جميع المعادلات في النظام في نفس الوقت.
قد لا تحتوي بعض الأنظمة الخطية على حل، في حين هناك أنظمة أُخرى تحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.

في هذه المقالة سنتعرف على طرق حل نظام المعادلات الخطية من الدرجة الأُولى بمتغيرين، مع أمثلة محلولة بالخطوات.

يوجد عدة طرق لحل نظام المعادلات الخطية في متغيرين 

 

- الطريقة البيانية Graphical Method

- طريقة التعويض Substitution Method

- طريقة الحذف Elimination Method

- طريقة المحددات Determinant Method 

1) الطريقة البيانية 

إنّ النهج الأساسي لهذه الطريقة هو تمثيلها كخطوط مستقيمة على رسم بياني وإيجاد نقاط التقاطع إن وجدت والتي تمثل مجموعة حل النظام.

أنواع الحلول :

1- مُتسقة Consistent : يُقال أن زوج المعادلات مُتسق، إذا تقاطع المستقيمان في نفس النقطة فإن النقطة تعطي حلاً فريداً لكلا المعادلتين.

2- التابع Dependent  : يُقال أن زوج المعادلات تابع، إذا تطابق المستقيمان ففي هذه الحالة يكون هناك عدد لا نهائي من الحلول، تصبح كل نقطة على المستقيم حلاً.

3- غير مُتسق Inconsistent : يُقال أن زوج المعادلات غير مُتسق، إذا كان المستقيمان متوازيان، ففي هذه الحالة لايوجد حل.

مثال :- جد مجموعة حل النظام 

x+y = 3 , x - y = 1 

الحل :- 

نفرض قِيَم ل x  ولتكن 0,1,2 

ونعوضها في الدالة x + y = 3

0 + y = 3   ⇒   y = 3   ⇒  (0,3)

1 + y = 3   ⇒   y = 2   ⇒  (1,2)

2 + y = 3   ⇒   y = 1   ⇒  (2,1)

نفرض نفس القيم ل x و 0,1,2 

ونعوضها في الدالة x - y = 1

0 - y = 1   ⇒    y = - 1  ⇒   (0,-1)

1 - y = 1   ⇒    y = 0    ⇒   (1,0)

2 - y = 1   ⇒    y = 1    ⇒   (2,1)

مثال :-  جد حل النظام المعادلات بيانياً  

- x + 2y - 3 = 0 

3x + 4y - 11 = 0

الحل : 

نبدأ بفرض قيم ل x ولتكن 0,1,2  ونعوضها في الدالة لإيجاد القيم المقابلة ل y 

- x + 2y - 3 = 0 

  0  + 2y - 3 = 0   ⇒  y = 3/2   ⇒   (0, 3/2)

 -1  + 2y - 3 = 0   ⇒  y = 2      ⇒  (1,2) 

 -2  + 2y - 3 = 0   ⇒  y = 5/2   ⇒  (2, 5/2)

3x + 4y - 11 = 0

3(0) + 4y - 11 = 0   ⇒   y = 11/4  ⇒  (0, 11/4)

3(1) + 4y - 11 = 0   ⇒   y = 2       ⇒  (1,2)

3(2) + 4y - 11 = 0   ⇒   y = 5/4    ⇒ (2, 5/4)

2) طريقة التعويض 

لحل نظام مكوّن من معادلتين خطيتين بمتغيرين بإستخدام طريقة التعويض يتعين علينا إستخدام الخطوات التالية :- 

- نحل إحدى المعادلتين بمتغير واحد .

- نعوّض هذه القيمة في المعادلة الاخرى للحصول على معادلة من حيث متغير واحد.

- نحل بالنسبة للمتغير .

- التعويض في أي من المعادلتين للحصول على قيمة متغير آخر.

ملخص : لحل نظام مكوّن من معادلتين خطيتين بمتغيرين، يكون عن طريق تحويل إحدى المعادلتين إلى معادلة بمتغير واحد فقط، ثم تعويضها في المعادلة الاخرى.

مثال :- حل نظام المعادلات التالي بإستخدام طريقة التعويض 

  x + 2y - 7 = 0

2x - 5y + 13 = 0

الحل :

لنبدأ بحل المعادلة  x + 2y - 7 = 0 بالنسبة ل y 

 x + 2y - 7 = 0

⇒  2y = 7 - x

⇒    y = (7-x) / 2

نعوّض بقيمة y في المعادلة 2x - 5y + 13 = 0

2x - 5y + 13 = 0

⇒  2x - 5 ((7-x)/2) + 13 = 0

⇒  2x - 35/2 + 5/2 x + 13 = 0

⇒  2x + 5/2 x = 35/2 - 13

⇒  (4x + 5x) / 2 = (35 - 26) / 2

⇒  9x/2 = 9/2

⇒ [ 9x/2 = 9/2 ] . 2/9

 

⇒ x = 1 

نعوض قيمة x في المعادلة   y = (7-x) / 2

⇒ y = (7 - 1) / 2 = 3 

ஃ y = 3

* للتحقق من صحة الحل نعوّض بقيم x و y في كلتا المعادلتين لان مجموعة الحل يجب أن تحقق الإثنين للحصول على عبارتين صائبتين

x + 2y - 7 = 0

(1) + 2(3) - 7 = 0

1 + 6 - 7 = 0

         0 = 0  ✔

2x - 5y + 13 = 0

2(1) - 5(3) +13 = 0

2 - 15 + 13 = 0

         0 = 0 ✔

مثال :-  جد حل النظام المعادلات

x - y = 1

x + y = 3

الحل :-

لنبدأ بالمعادلة x-y=1 ، نجد x بدلالة y 

        x - y = 1

   ⇒ x = 1 + y

الان نعوّض قيمة x في المعادلة  x +y = 3

         x + y = 3

   (1+y) + y = 3

        1 + 2y = 3

            2y = 2         ⇒  y =1     

نعوّض قيمة y في المعادلة x-y =1  

        x - 1 = 1 

        x = 2

* للتحقق من صحة الحل نعوّض بقيم x و y في كلتا المعادلتين لان مجموعة الحل يجب أن تحقق الإثنين للحصول على عبارتين صائبتين

x - y = 1

2 - 1 = 1

     1 = 1

x + y = 3

2 + 1 = 3

      3 = 3

3) طريقة الحذف 

لحل نظام مكوّن من معادلتين خطيتين بمتغيرين بإستخدام طريقة الحذف يتعين علينا إتباع الخطوات التالية :- 

- نبسط المعادلتين (التخلص من الأقواس والكسور إن وجدت)، لتكون بالشكل القياسي ax+by+c=0

أو ax+by=c .

- نجعل معامل أحد المتغيرين متساوياً بالقيمة العددية في كلا المعادلتين .

- نجمع أو نطرح المعادلتين مما يؤدي إلى إلغاء المتغير. 

- من الخطوة السابقة نحصل على قيمة أحد المتغيرين ثم نعوًض في إحدى المعادلتين للحصول على قيمة المتغير  (المحذوف).

مثال:- حل نظام المعادلات التالي بإستخدام طريقة الحذف 

2x + 3y - 11 = 0

3x + 2y - 9 = 0

الحل :- 

إن جمع أو طرح المعادلتين لن يؤدي إلى إلغاء أي متغير، ولكي نحذف المتغير x نضرب المعادلة الأولى بالعدد 3 ، نضرب المعادلة الثانية بالعدد 2- فتصبح المعادلتين كالتالي :

3 [ 2x + 3y - 11 = 0 ]

⇒ 6x + 9y - 33 = 0

- 2 [ 3x + 2y - 9 = 0 ]

⇒ - 6x - 4y + 18 =0

نجمع المعادلتين 

  6x + 9y - 33 = 0

- 6x - 4y + 18 = 0

        5y - 15 = 0   ⇒  5y = 15   ⇒    y = 3  

نعوّض قيمة y في أحدى المعادلتين لإيجاد المتغير x 

2x + 3y - 11 = 0

2x + 3(3) - 11 = 0

2x + 9 - 11 = 0

2x = 2    ⇒    x = 1

مجموعة الحل : {(1,3)}.

مثال :- حل المعادلتين بطريقة الحذف 

2x + 3y = 7

3x + 4y = 10 

الحل : 

لكي نحذف أحد المتغيرين وليكن x ، نضرب المعادلة الأولى بالعدد 3, ونضرب المعادلة الثانية بالعدد 2

3 [ 2x + 3y = 7 ]

⇒ 6x + 9y = 21 .....(1)

2 [ 3x + 4y = 10 ]

⇒  6x + 8y = 20 .....(2)

بطرح المعادلتين (1) و (2) 

6x + 9y = 21

∓6x ∓ 8y = ∓ 20

          y = 1

نعوّض قيمة y في أي من المعادلتين (1) أو (2) 

2x + 3y = 7

2x + 3(1) = 7

2x = 7 - 3 

2x = 4 

x = 2 

مجموعة الحل : {(2,1)}

مثال :- حل نظام المعادلات التالي بإستخدام طريقة الحذف 

3x - y = 6 

  x - y = 4

الحل :-

بطرح المعادلتين 

3x - y = 6 

∓x ∓ y = ∓4

 2x = 2      ⇒   x = 1

نعوّض قيمة x في المعادلة 2 

x - y = 4

1 - y = 4     ⇒   y = - 3   

مجموعة الحل  :- {(3-ا,1)}